Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5336 / 6059
↖ ↑ ↗
← S 64.979359°
E 54.492188°		 ← 2 066.72 m → S 64.979359°
E 54.536133°		 →
↑
2 066.05 m
↓
↑
2 066.05 m
↓
S 64.997939°
E 54.492188°		 ← 2 065.28 m →
4 268 460 m²		 S 64.997939°
E 54.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65142822265625 y=0.73968505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65142822265625 × 213)
    floor (0.65142822265625 × 8192)
    floor (5336.5)     		tx = 5336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73968505859375 × 213)
    floor (0.73968505859375 × 8192)
    floor (6059.5)     		ty = 6059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5336 / 6059 ti = "13/5336/6059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5336/6059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5336 ÷ 213
    5336 ÷ 8192     		x = 0.6513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6059 ÷ 213
    6059 ÷ 8192     		y = 0.7396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6513671875 × 2 - 1) × π
    0.302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95106809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.479248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50560214326672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95106809} λ = 0.95106809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50560214326672))-π/2
    2×atan(0.221883647854423)-π/2
    2×0.218346281294328-π/2
    0.436692562588656-1.57079632675     		φ = -1.13410376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95106809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13410376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.979359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5336 KachelY 6059 0.95106809 -1.13410376 54.492188 -64.979359
    Oben rechts KachelX + 1 5337 KachelY 6059 0.95183508 -1.13410376 54.536133 -64.979359
    Unten links KachelX 5336 KachelY + 1 6060 0.95106809 -1.13442805 54.492188 -64.997939
    Unten rechts KachelX + 1 5337 KachelY + 1 6060 0.95183508 -1.13442805 54.536133 -64.997939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13410376--1.13442805) × R
    0.000324290000000005 × 6371000     		dl = 2066.05159000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13410376--1.13442805) × R
    0.000324290000000005 × 6371000     		dr = 2066.05159000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95106809-0.95183508) × cos(-1.13410376) × R
    0.000766989999999912 × 0.422944735130256 × 6371000     		do = 2066.71661025459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95106809-0.95183508) × cos(-1.13442805) × R
    0.000766989999999912 × 0.422650855736037 × 6371000     		du = 2065.28057056667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13410376)-sin(-1.13442805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422944735130256-0.422650855736037)×R²
    abs(0.95183508-0.95106809)×0.000293879394218988×R²
    0.000766989999999912×0.000293879394218988×6371000²
    0.000766989999999912×0.000293879394218988×40589641000000     		ar = 4268459.71006235m²