Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53358 / 94096
↖ ↑ ↗
← S 61.459770°
W 33.447876°		 ← 145.89 m → S 61.459770°
W 33.445130°		 →
↑
145.96 m
↓
↑
145.96 m
↓
S 61.461083°
W 33.447876°		 ← 145.89 m →
21 294 m²		 S 61.461083°
W 33.445130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407093048095703 y=0.717899322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407093048095703 × 217)
    floor (0.407093048095703 × 131072)
    floor (53358.5)     		tx = 53358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717899322509766 × 217)
    floor (0.717899322509766 × 131072)
    floor (94096.5)     		ty = 94096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53358 / 94096 ti = "17/53358/94096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53358/94096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53358 ÷ 217
    53358 ÷ 131072     		x = 0.407089233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94096 ÷ 217
    94096 ÷ 131072     		y = 0.7178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407089233398438 × 2 - 1) × π
    -0.185821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58377556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3690778531488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58377556} λ = -0.58377556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3690778531488))-π/2
    2×atan(0.254341391559175)-π/2
    2×0.249060486420794-π/2
    0.498120972841588-1.57079632675     		φ = -1.07267535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58377556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07267535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.459770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53358 KachelY 94096 -0.58377556 -1.07267535 -33.447876 -61.459770
    Oben rechts KachelX + 1 53359 KachelY 94096 -0.58372763 -1.07267535 -33.445130 -61.459770
    Unten links KachelX 53358 KachelY + 1 94097 -0.58377556 -1.07269826 -33.447876 -61.461083
    Unten rechts KachelX + 1 53359 KachelY + 1 94097 -0.58372763 -1.07269826 -33.445130 -61.461083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07267535--1.07269826) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dl = 145.959609999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07267535--1.07269826) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dr = 145.959609999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58377556--0.58372763) × cos(-1.07267535) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.477775695215991 × 6371000     		do = 145.894556175568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58377556--0.58372763) × cos(-1.07269826) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.477755569071108 × 6371000     		du = 145.88841041511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07267535)-sin(-1.07269826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477775695215991-0.477755569071108)×R²
    abs(-0.58372763--0.58377556)×2.01261448829482e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.01261448829482e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.01261448829482e-05×40589641000000     		ar = 21294.2640049911m²