Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53357 / 94130
↖ ↑ ↗
← S 61.504355°
W 33.450623°		 ← 145.72 m → S 61.504355°
W 33.447876°		 →
↑
145.70 m
↓
↑
145.70 m
↓
S 61.505665°
W 33.450623°		 ← 145.71 m →
21 231 m²		 S 61.505665°
W 33.447876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407085418701172 y=0.718158721923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407085418701172 × 217)
    floor (0.407085418701172 × 131072)
    floor (53357.5)     		tx = 53357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718158721923828 × 217)
    floor (0.718158721923828 × 131072)
    floor (94130.5)     		ty = 94130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53357 / 94130 ti = "17/53357/94130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53357/94130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53357 ÷ 217
    53357 ÷ 131072     		x = 0.407081604003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94130 ÷ 217
    94130 ÷ 131072     		y = 0.718154907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407081604003906 × 2 - 1) × π
    -0.185836791992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.58382350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718154907226562 × 2 - 1) × π
    -0.436309814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37070770773589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58382350} λ = -0.58382350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37070770773589))-π/2
    2×atan(0.253927189711539)-π/2
    2×0.248671412612669-π/2
    0.497342825225338-1.57079632675     		φ = -1.07345350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58382350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.450623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07345350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.504355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53357 KachelY 94130 -0.58382350 -1.07345350 -33.450623 -61.504355
    Oben rechts KachelX + 1 53358 KachelY 94130 -0.58377556 -1.07345350 -33.447876 -61.504355
    Unten links KachelX 53357 KachelY + 1 94131 -0.58382350 -1.07347637 -33.450623 -61.505665
    Unten rechts KachelX + 1 53358 KachelY + 1 94131 -0.58377556 -1.07347637 -33.447876 -61.505665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07345350--1.07347637) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dl = 145.704770000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07345350--1.07347637) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dr = 145.704770000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58382350--0.58377556) × cos(-1.07345350) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.4770919599719 × 6371000     		do = 145.71616492271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58382350--0.58377556) × cos(-1.07347637) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.477071860470356 × 6371000     		du = 145.710026017577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07345350)-sin(-1.07347637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4770919599719-0.477071860470356)×R²
    abs(-0.58377556--0.58382350)×2.00995015436911e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00995015436911e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00995015436911e-05×40589641000000     		ar = 21231.0930623164m²