Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53355 / 94132
↖ ↑ ↗
← S 61.506976°
W 33.456115°		 ← 145.67 m → S 61.506976°
W 33.453369°		 →
↑
145.70 m
↓
↑
145.70 m
↓
S 61.508286°
W 33.456115°		 ← 145.67 m →
21 225 m²		 S 61.508286°
W 33.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407070159912109 y=0.718173980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407070159912109 × 217)
    floor (0.407070159912109 × 131072)
    floor (53355.5)     		tx = 53355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718173980712891 × 217)
    floor (0.718173980712891 × 131072)
    floor (94132.5)     		ty = 94132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53355 / 94132 ti = "17/53355/94132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53355/94132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53355 ÷ 217
    53355 ÷ 131072     		x = 0.407066345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94132 ÷ 217
    94132 ÷ 131072     		y = 0.718170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407066345214844 × 2 - 1) × π
    -0.185867309570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.58391937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.43634033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37080358153513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58391937} λ = -0.58391937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37080358153513))-π/2
    2×atan(0.253902845914116)-π/2
    2×0.248648543266836-π/2
    0.497297086533672-1.57079632675     		φ = -1.07349924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58391937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.456115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07349924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.506976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53355 KachelY 94132 -0.58391937 -1.07349924 -33.456115 -61.506976
    Oben rechts KachelX + 1 53356 KachelY 94132 -0.58387144 -1.07349924 -33.453369 -61.506976
    Unten links KachelX 53355 KachelY + 1 94133 -0.58391937 -1.07352211 -33.456115 -61.508286
    Unten rechts KachelX + 1 53356 KachelY + 1 94133 -0.58387144 -1.07352211 -33.453369 -61.508286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07349924--1.07352211) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dl = 145.704770000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07349924--1.07352211) × R
    2.28700000000082e-05 × 6371000     		dr = 145.704770000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58391937--0.58387144) × cos(-1.07349924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477051760719287 × 6371000     		do = 145.673494068405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58391937--0.58387144) × cos(-1.07352211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.477031660718701 × 6371000     		du = 145.667356291423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07349924)-sin(-1.07352211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477051760719287-0.477031660718701)×R²
    abs(-0.58387144--0.58391937)×2.01000005855545e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01000005855545e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01000005855545e-05×40589641000000     		ar = 21224.8757975465m²