Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53353 / 22557
↖ ↑ ↗
← N 48.817716°
E113.076782°		 ← 402.18 m → N 48.817716°
E113.082275°		 →
↑
402.20 m
↓
↑
402.20 m
↓
N 48.814098°
E113.076782°		 ← 402.21 m →
161 762 m²		 N 48.814098°
E113.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814109802246094 y=0.344200134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814109802246094 × 216)
    floor (0.814109802246094 × 65536)
    floor (53353.5)     		tx = 53353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344200134277344 × 216)
    floor (0.344200134277344 × 65536)
    floor (22557.5)     		ty = 22557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53353 / 22557 ti = "16/53353/22557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53353/22557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53353 ÷ 216
    53353 ÷ 65536     		x = 0.814102172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22557 ÷ 216
    22557 ÷ 65536     		y = 0.344192504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814102172851562 × 2 - 1) × π
    0.628204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.97356216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344192504882812 × 2 - 1) × π
    0.311614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.978967364040787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97356216} λ = 1.97356216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978967364040787))-π/2
    2×atan(2.66170624871756)-π/2
    2×1.21141309925144-π/2
    2.42282619850289-1.57079632675     		φ = 0.85202987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97356216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.076782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85202987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.817716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53353 KachelY 22557 1.97356216 0.85202987 113.076782 48.817716
    Oben rechts KachelX + 1 53354 KachelY 22557 1.97365803 0.85202987 113.082275 48.817716
    Unten links KachelX 53353 KachelY + 1 22558 1.97356216 0.85196674 113.076782 48.814098
    Unten rechts KachelX + 1 53354 KachelY + 1 22558 1.97365803 0.85196674 113.082275 48.814098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85202987-0.85196674) × R
    6.31300000000223e-05 × 6371000     		dl = 402.201230000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85202987-0.85196674) × R
    6.31300000000223e-05 × 6371000     		dr = 402.201230000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97356216-1.97365803) × cos(0.85202987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65845678568862 × 6371000     		do = 402.177351772111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97356216-1.97365803) × cos(0.85196674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658504297184688 × 6371000     		du = 402.206371212844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85202987)-sin(0.85196674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65845678568862-0.658504297184688)×R²
    abs(1.97365803-1.97356216)×4.75114960676315e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75114960676315e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75114960676315e-05×40589641000000     		ar = 161762.061442215m²