Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53350 / 22499
↖ ↑ ↗
← N 49.027063°
E113.060303°		 ← 400.50 m → N 49.027063°
E113.065796°		 →
↑
400.54 m
↓
↑
400.54 m
↓
N 49.023461°
E113.060303°		 ← 400.52 m →
160 422 m²		 N 49.023461°
E113.065796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814064025878906 y=0.343315124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814064025878906 × 216)
    floor (0.814064025878906 × 65536)
    floor (53350.5)     		tx = 53350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343315124511719 × 216)
    floor (0.343315124511719 × 65536)
    floor (22499.5)     		ty = 22499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53350 / 22499 ti = "16/53350/22499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53350/22499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53350 ÷ 216
    53350 ÷ 65536     		x = 0.814056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22499 ÷ 216
    22499 ÷ 65536     		y = 0.343307495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814056396484375 × 2 - 1) × π
    0.62811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97327454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343307495117188 × 2 - 1) × π
    0.313385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.984528044396713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97327454} λ = 1.97327454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984528044396713))-π/2
    2×atan(2.67654837428145)-π/2
    2×1.21324000349823-π/2
    2.42648000699647-1.57079632675     		φ = 0.85568368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97327454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85568368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.027063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53350 KachelY 22499 1.97327454 0.85568368 113.060303 49.027063
    Oben rechts KachelX + 1 53351 KachelY 22499 1.97337041 0.85568368 113.065796 49.027063
    Unten links KachelX 53350 KachelY + 1 22500 1.97327454 0.85562081 113.060303 49.023461
    Unten rechts KachelX + 1 53351 KachelY + 1 22500 1.97337041 0.85562081 113.065796 49.023461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85568368-0.85562081) × R
    6.28699999999371e-05 × 6371000     		dl = 400.5447699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85568368-0.85562081) × R
    6.28699999999371e-05 × 6371000     		dr = 400.5447699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97327454-1.97337041) × cos(0.85568368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655702471370768 × 6371000     		do = 400.495050272031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97327454-1.97337041) × cos(0.85562081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655749938143483 × 6371000     		du = 400.524042396287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85568368)-sin(0.85562081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655702471370768-0.655749938143483)×R²
    abs(1.97337041-1.97327454)×4.74667727148326e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74667727148326e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74667727148326e-05×40589641000000     		ar = 160422.004172016m²