Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53350 / 22158
↖ ↑ ↗
← N 50.240179°
E113.060303°		 ← 390.64 m → N 50.240179°
E113.065796°		 →
↑
390.67 m
↓
↑
390.67 m
↓
N 50.236666°
E113.060303°		 ← 390.67 m →
152 618 m²		 N 50.236666°
E113.065796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814064025878906 y=0.338111877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814064025878906 × 216)
    floor (0.814064025878906 × 65536)
    floor (53350.5)     		tx = 53350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338111877441406 × 216)
    floor (0.338111877441406 × 65536)
    floor (22158.5)     		ty = 22158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53350 / 22158 ti = "16/53350/22158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53350/22158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53350 ÷ 216
    53350 ÷ 65536     		x = 0.814056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22158 ÷ 216
    22158 ÷ 65536     		y = 0.338104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814056396484375 × 2 - 1) × π
    0.62811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97327454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338104248046875 × 2 - 1) × π
    0.32379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01722100993759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97327454} λ = 1.97327454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01722100993759))-π/2
    2×atan(2.76549878175602)-π/2
    2×1.22382643255347-π/2
    2.44765286510694-1.57079632675     		φ = 0.87685654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97327454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.060303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87685654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.240179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53350 KachelY 22158 1.97327454 0.87685654 113.060303 50.240179
    Oben rechts KachelX + 1 53351 KachelY 22158 1.97337041 0.87685654 113.065796 50.240179
    Unten links KachelX 53350 KachelY + 1 22159 1.97327454 0.87679522 113.060303 50.236666
    Unten rechts KachelX + 1 53351 KachelY + 1 22159 1.97337041 0.87679522 113.065796 50.236666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87685654-0.87679522) × R
    6.13200000000313e-05 × 6371000     		dl = 390.6697200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87685654-0.87679522) × R
    6.13200000000313e-05 × 6371000     		dr = 390.6697200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97327454-1.97337041) × cos(0.87685654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639570779093585 × 6371000     		do = 390.642009919725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97327454-1.97337041) × cos(0.87679522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639617916550547 × 6371000     		du = 390.670800901946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87685654)-sin(0.87679522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639570779093585-0.639617916550547)×R²
    abs(1.97337041-1.97327454)×4.71374569617211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71374569617211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71374569617211e-05×40589641000000     		ar = 152617.628566021m²