Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5335 / 6056
↖ ↑ ↗
← S 64.923542°
E 54.448242°		 ← 2 071.03 m → S 64.923542°
E 54.492188°		 →
↑
2 070.26 m
↓
↑
2 070.26 m
↓
S 64.942160°
E 54.448242°		 ← 2 069.59 m →
4 286 073 m²		 S 64.942160°
E 54.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.65130615234375 y=0.73931884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.65130615234375 × 213)
    floor (0.65130615234375 × 8192)
    floor (5335.5)     		tx = 5335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73931884765625 × 213)
    floor (0.73931884765625 × 8192)
    floor (6056.5)     		ty = 6056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5335 / 6056 ti = "13/5335/6056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5335/6056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5335 ÷ 213
    5335 ÷ 8192     		x = 0.6512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6056 ÷ 213
    6056 ÷ 8192     		y = 0.7392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6512451171875 × 2 - 1) × π
    0.302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95030110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7392578125 × 2 - 1) × π
    -0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95030110} λ = 0.95030110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50330117208496))-π/2
    2×atan(0.222394783562592)-π/2
    2×0.218833380670323-π/2
    0.437666761340645-1.57079632675     		φ = -1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95030110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5335 KachelY 6056 0.95030110 -1.13312957 54.448242 -64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 5336 KachelY 6056 0.95106809 -1.13312957 54.492188 -64.923542
    Unten links KachelX 5335 KachelY + 1 6057 0.95030110 -1.13345452 54.448242 -64.942160
    Unten rechts KachelX + 1 5336 KachelY + 1 6057 0.95106809 -1.13345452 54.492188 -64.942160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13312957--1.13345452) × R
    0.000324949999999991 × 6371000     		dl = 2070.25644999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13312957--1.13345452) × R
    0.000324949999999991 × 6371000     		dr = 2070.25644999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95030110-0.95106809) × cos(-1.13312957) × R
    0.000766990000000023 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 2071.02926684882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95030110-0.95106809) × cos(-1.13345452) × R
    0.000766990000000023 × 0.42353295833346 × 6371000     		du = 2069.59095899036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13312957)-sin(-1.13345452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.42353295833346)×R²
    abs(0.95106809-0.95030110)×0.000294343565641453×R²
    0.000766990000000023×0.000294343565641453×6371000²
    0.000766990000000023×0.000294343565641453×40589641000000     		ar = 4286072.9024883m²