Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53349 / 86051
↖ ↑ ↗
← S 48.985625°
W 33.472595°		 ← 200.44 m → S 48.985625°
W 33.469849°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
S 48.987427°
W 33.472595°		 ← 200.43 m →
40 160 m²		 S 48.987427°
W 33.469849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407024383544922 y=0.656520843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407024383544922 × 217)
    floor (0.407024383544922 × 131072)
    floor (53349.5)     		tx = 53349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656520843505859 × 217)
    floor (0.656520843505859 × 131072)
    floor (86051.5)     		ty = 86051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53349 / 86051 ti = "17/53349/86051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53349/86051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53349 ÷ 217
    53349 ÷ 131072     		x = 0.407020568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86051 ÷ 217
    86051 ÷ 131072     		y = 0.656517028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407020568847656 × 2 - 1) × π
    -0.185958862304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.58420700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656517028808594 × 2 - 1) × π
    -0.313034057617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.983425495705452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58420700} λ = -0.58420700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983425495705452))-π/2
    2×atan(0.374027671736091)-π/2
    2×0.357917945710522-π/2
    0.715835891421043-1.57079632675     		φ = -0.85496044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58420700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.472595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85496044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.985625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53349 KachelY 86051 -0.58420700 -0.85496044 -33.472595 -48.985625
    Oben rechts KachelX + 1 53350 KachelY 86051 -0.58415906 -0.85496044 -33.469849 -48.985625
    Unten links KachelX 53349 KachelY + 1 86052 -0.58420700 -0.85499189 -33.472595 -48.987427
    Unten rechts KachelX + 1 53350 KachelY + 1 86052 -0.58415906 -0.85499189 -33.469849 -48.987427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85496044--0.85499189) × R
    3.14499999999329e-05 × 6371000     		dl = 200.367949999573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85496044--0.85499189) × R
    3.14499999999329e-05 × 6371000     		dr = 200.367949999573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58420700--0.58415906) × cos(-0.85496044) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.656248360050745 × 6371000     		do = 200.435140992618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58420700--0.58415906) × cos(-0.85499189) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.656224629287349 × 6371000     		du = 200.427893006647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85496044)-sin(-0.85499189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656248360050745-0.656224629287349)×R²
    abs(-0.58415906--0.58420700)×2.37307633961237e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37307633961237e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37307633961237e-05×40589641000000     		ar = 40160.0521798911m²