Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53340 / 94156
↖ ↑ ↗
← S 61.538406°
W 33.497315°		 ← 145.56 m → S 61.538406°
W 33.494568°		 →
↑
145.58 m
↓
↑
145.58 m
↓
S 61.539715°
W 33.497315°		 ← 145.55 m →
21 189 m²		 S 61.539715°
W 33.494568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406955718994141 y=0.718357086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406955718994141 × 217)
    floor (0.406955718994141 × 131072)
    floor (53340.5)     		tx = 53340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718357086181641 × 217)
    floor (0.718357086181641 × 131072)
    floor (94156.5)     		ty = 94156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53340 / 94156 ti = "17/53340/94156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53340/94156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53340 ÷ 217
    53340 ÷ 131072     		x = 0.406951904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94156 ÷ 217
    94156 ÷ 131072     		y = 0.718353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406951904296875 × 2 - 1) × π
    -0.18609619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58463843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718353271484375 × 2 - 1) × π
    -0.43670654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37195406712601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58463843} λ = -0.58463843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37195406712601))-π/2
    2×atan(0.25361090231906)-π/2
    2×0.248374261383464-π/2
    0.496748522766928-1.57079632675     		φ = -1.07404780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58463843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.497315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07404780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.538406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53340 KachelY 94156 -0.58463843 -1.07404780 -33.497315 -61.538406
    Oben rechts KachelX + 1 53341 KachelY 94156 -0.58459049 -1.07404780 -33.494568 -61.538406
    Unten links KachelX 53340 KachelY + 1 94157 -0.58463843 -1.07407065 -33.497315 -61.539715
    Unten rechts KachelX + 1 53341 KachelY + 1 94157 -0.58459049 -1.07407065 -33.494568 -61.539715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07404780--1.07407065) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dl = 145.577349999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07404780--1.07407065) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dr = 145.577349999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58463843--0.58459049) × cos(-1.07404780) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.476569573186877 × 6371000     		do = 145.556614552328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58463843--0.58459049) × cos(-1.07407065) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.47654948478751 × 6371000     		du = 145.550479038086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07404780)-sin(-1.07407065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476569573186877-0.47654948478751)×R²
    abs(-0.58459049--0.58463843)×2.00883993666801e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00883993666801e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00883993666801e-05×40589641000000     		ar = 21189.2996265166m²