Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5334 / 11458
↖ ↑ ↗
← S 58.101106°
W 62.797851°		 ← 1 291.05 m → S 58.101106°
W 62.775879°		 →
↑
1 290.83 m
↓
↑
1 290.83 m
↓
S 58.112714°
W 62.797851°		 ← 1 290.63 m →
1 666 250 m²		 S 58.112714°
W 62.775879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.325592041015625 y=0.699371337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.325592041015625 × 214)
    floor (0.325592041015625 × 16384)
    floor (5334.5)     		tx = 5334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699371337890625 × 214)
    floor (0.699371337890625 × 16384)
    floor (11458.5)     		ty = 11458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5334 / 11458 ti = "14/5334/11458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5334/11458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5334 ÷ 214
    5334 ÷ 16384     		x = 0.3255615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11458 ÷ 214
    11458 ÷ 16384     		y = 0.6993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3255615234375 × 2 - 1) × π
    -0.348876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.09602927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25249531327283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.09602927} λ = -1.09602927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25249531327283))-π/2
    2×atan(0.285790768870113)-π/2
    2×0.278370368418624-π/2
    0.556740736837249-1.57079632675     		φ = -1.01405559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.09602927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -62.797851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01405559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.101106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5334 KachelY 11458 -1.09602927 -1.01405559 -62.797851 -58.101106
    Oben rechts KachelX + 1 5335 KachelY 11458 -1.09564578 -1.01405559 -62.775879 -58.101106
    Unten links KachelX 5334 KachelY + 1 11459 -1.09602927 -1.01425820 -62.797851 -58.112714
    Unten rechts KachelX + 1 5335 KachelY + 1 11459 -1.09564578 -1.01425820 -62.775879 -58.112714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01405559--1.01425820) × R
    0.000202610000000103 × 6371000     		dl = 1290.82831000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01405559--1.01425820) × R
    0.000202610000000103 × 6371000     		dr = 1290.82831000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.09602927--1.09564578) × cos(-1.01405559) × R
    0.000383490000000153 × 0.528421954062251 × 6371000     		do = 1291.04833352611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.09602927--1.09564578) × cos(-1.01425820) × R
    0.000383490000000153 × 0.528249930997942 × 6371000     		du = 1290.62804423117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01405559)-sin(-1.01425820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528421954062251-0.528249930997942)×R²
    abs(-1.09564578--1.09602927)×0.000172023064308746×R²
    0.000383490000000153×0.000172023064308746×6371000²
    0.000383490000000153×0.000172023064308746×40589641000000     		ar = 1666250.48353589m²