Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53336 / 22230
↖ ↑ ↗
← N 49.986552°
E112.983398°		 ← 392.76 m → N 49.986552°
E112.988892°		 →
↑
392.77 m
↓
↑
392.77 m
↓
N 49.983020°
E112.983398°		 ← 392.79 m →
154 270 m²		 N 49.983020°
E112.988892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813850402832031 y=0.339210510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813850402832031 × 216)
    floor (0.813850402832031 × 65536)
    floor (53336.5)     		tx = 53336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339210510253906 × 216)
    floor (0.339210510253906 × 65536)
    floor (22230.5)     		ty = 22230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53336 / 22230 ti = "16/53336/22230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53336/22230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53336 ÷ 216
    53336 ÷ 65536     		x = 0.8138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22230 ÷ 216
    22230 ÷ 65536     		y = 0.339202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8138427734375 × 2 - 1) × π
    0.627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97193230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339202880859375 × 2 - 1) × π
    0.32159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0103180963923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97193230} λ = 1.97193230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0103180963923))-π/2
    2×atan(2.74647451971648)-π/2
    2×1.22161312158672-π/2
    2.44322624317345-1.57079632675     		φ = 0.87242992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97193230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.983398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87242992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.986552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53336 KachelY 22230 1.97193230 0.87242992 112.983398 49.986552
    Oben rechts KachelX + 1 53337 KachelY 22230 1.97202818 0.87242992 112.988892 49.986552
    Unten links KachelX 53336 KachelY + 1 22231 1.97193230 0.87236827 112.983398 49.983020
    Unten rechts KachelX + 1 53337 KachelY + 1 22231 1.97202818 0.87236827 112.988892 49.983020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87242992-0.87236827) × R
    6.16500000000242e-05 × 6371000     		dl = 392.772150000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87242992-0.87236827) × R
    6.16500000000242e-05 × 6371000     		dr = 392.772150000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97193230-1.97202818) × cos(0.87242992) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.642967387205193 × 6371000     		do = 392.757580065768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97193230-1.97202818) × cos(0.87236827) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.643014603321015 × 6371000     		du = 392.786422099998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87242992)-sin(0.87236827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642967387205193-0.643014603321015)×R²
    abs(1.97202818-1.97193230)×4.72161158219242e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.72161158219242e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.72161158219242e-05×40589641000000     		ar = 154269.903373799m²