Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53334 / 94142
↖ ↑ ↗
← S 61.520076°
W 33.513794°		 ← 145.64 m → S 61.520076°
W 33.511047°		 →
↑
145.58 m
↓
↑
145.58 m
↓
S 61.521385°
W 33.513794°		 ← 145.64 m →
21 202 m²		 S 61.521385°
W 33.511047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406909942626953 y=0.718250274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406909942626953 × 217)
    floor (0.406909942626953 × 131072)
    floor (53334.5)     		tx = 53334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718250274658203 × 217)
    floor (0.718250274658203 × 131072)
    floor (94142.5)     		ty = 94142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53334 / 94142 ti = "17/53334/94142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53334/94142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53334 ÷ 217
    53334 ÷ 131072     		x = 0.406906127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94142 ÷ 217
    94142 ÷ 131072     		y = 0.718246459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406906127929688 × 2 - 1) × π
    -0.186187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58492605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718246459960938 × 2 - 1) × π
    -0.436492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37128295053133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58492605} λ = -0.58492605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37128295053133))-π/2
    2×atan(0.253781161929833)-π/2
    2×0.248534225439109-π/2
    0.497068450878217-1.57079632675     		φ = -1.07372788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58492605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.513794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07372788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.520076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53334 KachelY 94142 -0.58492605 -1.07372788 -33.513794 -61.520076
    Oben rechts KachelX + 1 53335 KachelY 94142 -0.58487811 -1.07372788 -33.511047 -61.520076
    Unten links KachelX 53334 KachelY + 1 94143 -0.58492605 -1.07375073 -33.513794 -61.521385
    Unten rechts KachelX + 1 53335 KachelY + 1 94143 -0.58487811 -1.07375073 -33.511047 -61.521385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07372788--1.07375073) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dl = 145.577349999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07372788--1.07375073) × R
    2.28499999999077e-05 × 6371000     		dr = 145.577349999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58492605--0.58487811) × cos(-1.07372788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.476850802226016 × 6371000     		do = 145.642509139379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58492605--0.58487811) × cos(-1.07375073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47683071731141 × 6371000     		du = 145.636374689473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07372788)-sin(-1.07375073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476850802226016-0.47683071731141)×R²
    abs(-0.58487811--0.58492605)×2.00849146065885e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00849146065885e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00849146065885e-05×40589641000000     		ar = 21201.8040100224m²