Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53334 / 94134
↖ ↑ ↗
← S 61.509596°
W 33.513794°		 ← 145.69 m → S 61.509596°
W 33.511047°		 →
↑
145.64 m
↓
↑
145.64 m
↓
S 61.510906°
W 33.513794°		 ← 145.69 m →
21 218 m²		 S 61.510906°
W 33.511047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406909942626953 y=0.718189239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406909942626953 × 217)
    floor (0.406909942626953 × 131072)
    floor (53334.5)     		tx = 53334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718189239501953 × 217)
    floor (0.718189239501953 × 131072)
    floor (94134.5)     		ty = 94134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53334 / 94134 ti = "17/53334/94134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53334/94134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53334 ÷ 217
    53334 ÷ 131072     		x = 0.406906127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94134 ÷ 217
    94134 ÷ 131072     		y = 0.718185424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406906127929688 × 2 - 1) × π
    -0.186187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58492605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718185424804688 × 2 - 1) × π
    -0.436370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37089945533437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58492605} λ = -0.58492605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37089945533437))-π/2
    2×atan(0.253878504450513)-π/2
    2×0.248625675847919-π/2
    0.497251351695837-1.57079632675     		φ = -1.07354498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58492605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.513794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07354498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.509596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53334 KachelY 94134 -0.58492605 -1.07354498 -33.513794 -61.509596
    Oben rechts KachelX + 1 53335 KachelY 94134 -0.58487811 -1.07354498 -33.511047 -61.509596
    Unten links KachelX 53334 KachelY + 1 94135 -0.58492605 -1.07356784 -33.513794 -61.510906
    Unten rechts KachelX + 1 53335 KachelY + 1 94135 -0.58487811 -1.07356784 -33.511047 -61.510906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07354498--1.07356784) × R
    2.28599999998469e-05 × 6371000     		dl = 145.641059999025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07354498--1.07356784) × R
    2.28599999998469e-05 × 6371000     		dr = 145.641059999025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58492605--0.58487811) × cos(-1.07354498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47701156046861 × 6371000     		do = 145.691608844585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58492605--0.58487811) × cos(-1.07356784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.476991468758104 × 6371000     		du = 145.685472319035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07354498)-sin(-1.07356784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47701156046861-0.476991468758104)×R²
    abs(-0.58487811--0.58492605)×2.00917105059872e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00917105059872e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00917105059872e-05×40589641000000     		ar = 21218.233480976m²