Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53332 / 86460
↖ ↑ ↗
← S 49.717376°
W 33.519287°		 ← 197.43 m → S 49.717376°
W 33.516541°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 49.719152°
W 33.519287°		 ← 197.43 m →
38 993 m²		 S 49.719152°
W 33.516541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406894683837891 y=0.659641265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406894683837891 × 217)
    floor (0.406894683837891 × 131072)
    floor (53332.5)     		tx = 53332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659641265869141 × 217)
    floor (0.659641265869141 × 131072)
    floor (86460.5)     		ty = 86460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53332 / 86460 ti = "17/53332/86460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53332/86460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53332 ÷ 217
    53332 ÷ 131072     		x = 0.406890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86460 ÷ 217
    86460 ÷ 131072     		y = 0.659637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.18621826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58502192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.31927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00303168765005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58502192} λ = -0.58502192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00303168765005))-π/2
    2×atan(0.366765834519642)-π/2
    2×0.351532206546981-π/2
    0.703064413093961-1.57079632675     		φ = -0.86773191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58502192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.519287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86773191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.717376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53332 KachelY 86460 -0.58502192 -0.86773191 -33.519287 -49.717376
    Oben rechts KachelX + 1 53333 KachelY 86460 -0.58497399 -0.86773191 -33.516541 -49.717376
    Unten links KachelX 53332 KachelY + 1 86461 -0.58502192 -0.86776291 -33.519287 -49.719152
    Unten rechts KachelX + 1 53333 KachelY + 1 86461 -0.58497399 -0.86776291 -33.516541 -49.719152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86773191--0.86776291) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86773191--0.86776291) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58502192--0.58497399) × cos(-0.86773191) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.64655845400442 × 6371000     		do = 197.434402028115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58502192--0.58497399) × cos(-0.86776291) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.646534804895874 × 6371000     		du = 197.427180488321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86773191)-sin(-0.86776291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64655845400442-0.646534804895874)×R²
    abs(-0.58497399--0.58502192)×2.364910854602e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.364910854602e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.364910854602e-05×40589641000000     		ar = 38992.7787072919m²