Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53329 / 11503
↖ ↑ ↗
← N 81.420901°
W 33.527527°		 ← 45.55 m → N 81.420901°
W 33.524780°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
N 81.420492°
W 33.527527°		 ← 45.55 m →
2 075 m²		 N 81.420492°
W 33.524780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406871795654297 y=0.0877647399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406871795654297 × 217)
    floor (0.406871795654297 × 131072)
    floor (53329.5)     		tx = 53329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0877647399902344 × 217)
    floor (0.0877647399902344 × 131072)
    floor (11503.5)     		ty = 11503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53329 / 11503 ti = "17/53329/11503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53329/11503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53329 ÷ 217
    53329 ÷ 131072     		x = 0.406867980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11503 ÷ 217
    11503 ÷ 131072     		y = 0.0877609252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406867980957031 × 2 - 1) × π
    -0.186264038085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.58516573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0877609252929688 × 2 - 1) × π
    0.824478149414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.59017449717049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58516573} λ = -0.58516573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59017449717049))-π/2
    2×atan(13.3320978135765)-π/2
    2×1.49592956752258-π/2
    2.99185913504516-1.57079632675     		φ = 1.42106281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58516573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.527527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42106281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.420901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53329 KachelY 11503 -0.58516573 1.42106281 -33.527527 81.420901
    Oben rechts KachelX + 1 53330 KachelY 11503 -0.58511780 1.42106281 -33.524780 81.420901
    Unten links KachelX 53329 KachelY + 1 11504 -0.58516573 1.42105566 -33.527527 81.420492
    Unten rechts KachelX + 1 53330 KachelY + 1 11504 -0.58511780 1.42105566 -33.524780 81.420492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42106281-1.42105566) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42106281-1.42105566) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58516573--0.58511780) × cos(1.42106281) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149174636284709 × 6371000     		do = 45.5522697604381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58516573--0.58511780) × cos(1.42105566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149181706278584 × 6371000     		du = 45.5544286681201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42106281)-sin(1.42105566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149174636284709-0.149181706278584)×R²
    abs(-0.58511780--0.58516573)×7.06999387584117e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06999387584117e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06999387584117e-06×40589641000000     		ar = 2075.07577323261m²