Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53328 / 94160
↖ ↑ ↗
← S 61.543642°
W 33.530273°		 ← 145.53 m → S 61.543642°
W 33.527527°		 →
↑
145.51 m
↓
↑
145.51 m
↓
S 61.544950°
W 33.530273°		 ← 145.53 m →
21 176 m²		 S 61.544950°
W 33.527527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406864166259766 y=0.718387603759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406864166259766 × 217)
    floor (0.406864166259766 × 131072)
    floor (53328.5)     		tx = 53328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718387603759766 × 217)
    floor (0.718387603759766 × 131072)
    floor (94160.5)     		ty = 94160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53328 / 94160 ti = "17/53328/94160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53328/94160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53328 ÷ 217
    53328 ÷ 131072     		x = 0.4068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94160 ÷ 217
    94160 ÷ 131072     		y = 0.7183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7183837890625 × 2 - 1) × π
    -0.436767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37214581472449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58521367} λ = -0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37214581472449))-π/2
    2×atan(0.253562277699568)-π/2
    2×0.248328574699148-π/2
    0.496657149398296-1.57079632675     		φ = -1.07413918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07413918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.543642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53328 KachelY 94160 -0.58521367 -1.07413918 -33.530273 -61.543642
    Oben rechts KachelX + 1 53329 KachelY 94160 -0.58516573 -1.07413918 -33.527527 -61.543642
    Unten links KachelX 53328 KachelY + 1 94161 -0.58521367 -1.07416202 -33.530273 -61.544950
    Unten rechts KachelX + 1 53329 KachelY + 1 94161 -0.58516573 -1.07416202 -33.527527 -61.544950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07413918--1.07416202) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dl = 145.513639999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07413918--1.07416202) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dr = 145.513639999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58521367--0.58516573) × cos(-1.07413918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.476489235680154 × 6371000     		do = 145.53207740955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58521367--0.58516573) × cos(-1.07416202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.476469155077711 × 6371000     		du = 145.525944276689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07413918)-sin(-1.07416202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476489235680154-0.476469155077711)×R²
    abs(-0.58516573--0.58521367)×2.00806024429623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00806024429623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00806024429623e-05×40589641000000     		ar = 21176.4560943925m²