Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53328 / 11504
↖ ↑ ↗
← N 81.420492°
W 33.530273°		 ← 45.56 m → N 81.420492°
W 33.527527°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
N 81.420082°
W 33.530273°		 ← 45.57 m →
2 076 m²		 N 81.420082°
W 33.527527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406864166259766 y=0.0877723693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406864166259766 × 217)
    floor (0.406864166259766 × 131072)
    floor (53328.5)     		tx = 53328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0877723693847656 × 217)
    floor (0.0877723693847656 × 131072)
    floor (11504.5)     		ty = 11504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53328 / 11504 ti = "17/53328/11504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53328/11504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53328 ÷ 217
    53328 ÷ 131072     		x = 0.4068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11504 ÷ 217
    11504 ÷ 131072     		y = 0.0877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58521367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0877685546875 × 2 - 1) × π
    0.824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59012656027087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58521367} λ = -0.58521367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59012656027087))-π/2
    2×atan(13.3314587294599)-π/2
    2×1.49592599195301-π/2
    2.99185198390603-1.57079632675     		φ = 1.42105566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58521367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42105566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.420492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53328 KachelY 11504 -0.58521367 1.42105566 -33.530273 81.420492
    Oben rechts KachelX + 1 53329 KachelY 11504 -0.58516573 1.42105566 -33.527527 81.420492
    Unten links KachelX 53328 KachelY + 1 11505 -0.58521367 1.42104851 -33.530273 81.420082
    Unten rechts KachelX + 1 53329 KachelY + 1 11505 -0.58516573 1.42104851 -33.527527 81.420082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42105566-1.42104851) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dl = 45.5526499990111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42105566-1.42104851) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dr = 45.5526499990111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58521367--0.58516573) × cos(1.42105566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149181706278584 × 6371000     		do = 45.5639330345694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58521367--0.58516573) × cos(1.42104851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149188776264833 × 6371000     		du = 45.5660923903513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42105566)-sin(1.42104851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149181706278584-0.149188776264833)×R²
    abs(-0.58516573--0.58521367)×7.06998624902533e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06998624902533e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06998624902533e-06×40589641000000     		ar = 2075.60707631328m²