Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53327 / 22237
↖ ↑ ↗
← N 49.961822°
E112.933960°		 ← 392.92 m → N 49.961822°
E112.939453°		 →
↑
392.96 m
↓
↑
392.96 m
↓
N 49.958288°
E112.933960°		 ← 392.95 m →
154 408 m²		 N 49.958288°
E112.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813713073730469 y=0.339317321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813713073730469 × 216)
    floor (0.813713073730469 × 65536)
    floor (53327.5)     		tx = 53327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339317321777344 × 216)
    floor (0.339317321777344 × 65536)
    floor (22237.5)     		ty = 22237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53327 / 22237 ti = "16/53327/22237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53327/22237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53327 ÷ 216
    53327 ÷ 65536     		x = 0.813705444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22237 ÷ 216
    22237 ÷ 65536     		y = 0.339309692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813705444335938 × 2 - 1) × π
    0.627410888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97106944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339309692382812 × 2 - 1) × π
    0.321380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00964697979762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97106944} λ = 1.97106944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00964697979762))-π/2
    2×atan(2.7446319334537)-π/2
    2×1.22139731309235-π/2
    2.44279462618469-1.57079632675     		φ = 0.87199830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97106944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.933960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87199830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.961822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53327 KachelY 22237 1.97106944 0.87199830 112.933960 49.961822
    Oben rechts KachelX + 1 53328 KachelY 22237 1.97116531 0.87199830 112.939453 49.961822
    Unten links KachelX 53327 KachelY + 1 22238 1.97106944 0.87193662 112.933960 49.958288
    Unten rechts KachelX + 1 53328 KachelY + 1 22238 1.97116531 0.87193662 112.939453 49.958288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87199830-0.87193662) × R
    6.16799999999529e-05 × 6371000     		dl = 392.9632799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87199830-0.87193662) × R
    6.16799999999529e-05 × 6371000     		dr = 392.9632799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97106944-1.97116531) × cos(0.87199830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643297902280464 × 6371000     		do = 392.918491179554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97106944-1.97116531) × cos(0.87193662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64334512424959 × 6371000     		du = 392.947333780771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87199830)-sin(0.87193662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643297902280464-0.64334512424959)×R²
    abs(1.97116531-1.97106944)×4.72219691258768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72219691258768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72219691258768e-05×40589641000000     		ar = 154408.206156758m²