Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53326 / 22446
↖ ↑ ↗
← N 49.217597°
E112.928467°		 ← 399 m → N 49.217597°
E112.933960°		 →
↑
399.02 m
↓
↑
399.02 m
↓
N 49.214009°
E112.928467°		 ← 399.03 m →
159 213 m²		 N 49.214009°
E112.933960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813697814941406 y=0.342506408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813697814941406 × 216)
    floor (0.813697814941406 × 65536)
    floor (53326.5)     		tx = 53326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342506408691406 × 216)
    floor (0.342506408691406 × 65536)
    floor (22446.5)     		ty = 22446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53326 / 22446 ti = "16/53326/22446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53326/22446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53326 ÷ 216
    53326 ÷ 65536     		x = 0.813690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22446 ÷ 216
    22446 ÷ 65536     		y = 0.342498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813690185546875 × 2 - 1) × π
    0.62738037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97097356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342498779296875 × 2 - 1) × π
    0.31500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989609355756439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97097356} λ = 1.97097356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989609355756439))-π/2
    2×atan(2.69018336241296)-π/2
    2×1.21490272309089-π/2
    2.42980544618177-1.57079632675     		φ = 0.85900912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97097356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.928467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85900912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.217597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53326 KachelY 22446 1.97097356 0.85900912 112.928467 49.217597
    Oben rechts KachelX + 1 53327 KachelY 22446 1.97106944 0.85900912 112.933960 49.217597
    Unten links KachelX 53326 KachelY + 1 22447 1.97097356 0.85894649 112.928467 49.214009
    Unten rechts KachelX + 1 53327 KachelY + 1 22447 1.97106944 0.85894649 112.933960 49.214009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85900912-0.85894649) × R
    6.26299999999524e-05 × 6371000     		dl = 399.015729999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85900912-0.85894649) × R
    6.26299999999524e-05 × 6371000     		dr = 399.015729999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97097356-1.97106944) × cos(0.85900912) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.65318807878428 × 6371000     		do = 399.000904643472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97097356-1.97106944) × cos(0.85894649) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.653235500670102 × 6371000     		du = 399.029872372611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85900912)-sin(0.85894649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65318807878428-0.653235500670102)×R²
    abs(1.97106944-1.97097356)×4.74218858224074e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74218858224074e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74218858224074e-05×40589641000000     		ar = 159213.416578573m²