Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5332 / 9492
↖ ↑ ↗
← N 60.130564°
W121.420899°		 ← 608.41 m → N 60.130564°
W121.409912°		 →
↑
608.49 m
↓
↑
608.49 m
↓
N 60.125092°
W121.420899°		 ← 608.51 m →
370 243 m²		 N 60.125092°
W121.409912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162734985351562 y=0.289688110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162734985351562 × 215)
    floor (0.162734985351562 × 32768)
    floor (5332.5)     		tx = 5332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289688110351562 × 215)
    floor (0.289688110351562 × 32768)
    floor (9492.5)     		ty = 9492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5332 / 9492 ti = "15/5332/9492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5332/9492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5332 ÷ 215
    5332 ÷ 32768     		x = 0.1627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9492 ÷ 215
    9492 ÷ 32768     		y = 0.2896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1627197265625 × 2 - 1) × π
    -0.674560546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11919446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2896728515625 × 2 - 1) × π
    0.420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32152444872571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11919446} λ = -2.11919446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32152444872571))-π/2
    2×atan(3.74913238317105)-π/2
    2×1.31013632148557-π/2
    2.62027264297115-1.57079632675     		φ = 1.04947632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11919446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.420899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04947632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.130564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5332 KachelY 9492 -2.11919446 1.04947632 -121.420899 60.130564
    Oben rechts KachelX + 1 5333 KachelY 9492 -2.11900271 1.04947632 -121.409912 60.130564
    Unten links KachelX 5332 KachelY + 1 9493 -2.11919446 1.04938081 -121.420899 60.125092
    Unten rechts KachelX + 1 5333 KachelY + 1 9493 -2.11900271 1.04938081 -121.409912 60.125092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04947632-1.04938081) × R
    9.55099999999653e-05 × 6371000     		dl = 608.494209999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04947632-1.04938081) × R
    9.55099999999653e-05 × 6371000     		dr = 608.494209999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11919446--2.11900271) × cos(1.04947632) × R
    0.000191749999999935 × 0.498025231838619 × 6371000     		do = 608.4071707042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11919446--2.11900271) × cos(1.04938081) × R
    0.000191749999999935 × 0.498108052261027 × 6371000     		du = 608.508347382915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04947632)-sin(1.04938081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498025231838619-0.498108052261027)×R²
    abs(-2.11900271--2.11919446)×8.2820422408314e-05×R²
    0.000191749999999935×8.2820422408314e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.2820422408314e-05×40589641000000     		ar = 370243.023689058m²