Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53318 / 86086
↖ ↑ ↗
← S 49.048670°
W 33.557739°		 ← 200.18 m → S 49.048670°
W 33.554993°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
S 49.050470°
W 33.557739°		 ← 200.17 m →
40 058 m²		 S 49.050470°
W 33.554993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406787872314453 y=0.656787872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406787872314453 × 217)
    floor (0.406787872314453 × 131072)
    floor (53318.5)     		tx = 53318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656787872314453 × 217)
    floor (0.656787872314453 × 131072)
    floor (86086.5)     		ty = 86086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53318 / 86086 ti = "17/53318/86086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53318/86086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53318 ÷ 217
    53318 ÷ 131072     		x = 0.406784057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86086 ÷ 217
    86086 ÷ 131072     		y = 0.656784057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406784057617188 × 2 - 1) × π
    -0.186431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58569304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656784057617188 × 2 - 1) × π
    -0.313568115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.985103287192154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58569304} λ = -0.58569304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985103287192154))-π/2
    2×atan(0.373400657439372)-π/2
    2×0.357367770188978-π/2
    0.714735540377956-1.57079632675     		φ = -0.85606079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58569304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.557739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85606079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.048670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53318 KachelY 86086 -0.58569304 -0.85606079 -33.557739 -49.048670
    Oben rechts KachelX + 1 53319 KachelY 86086 -0.58564510 -0.85606079 -33.554993 -49.048670
    Unten links KachelX 53318 KachelY + 1 86087 -0.58569304 -0.85609220 -33.557739 -49.050470
    Unten rechts KachelX + 1 53319 KachelY + 1 86087 -0.58564510 -0.85609220 -33.554993 -49.050470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85606079--0.85609220) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dl = 200.113109999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85606079--0.85609220) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dr = 200.113109999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58569304--0.58564510) × cos(-0.85606079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655417699393546 × 6371000     		do = 200.18143584624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58569304--0.58564510) × cos(-0.85609220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655393976146284 × 6371000     		du = 200.17419015589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85606079)-sin(-0.85609220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655417699393546-0.655393976146284)×R²
    abs(-0.58564510--0.58569304)×2.37232472624083e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37232472624083e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37232472624083e-05×40589641000000     		ar = 40058.2047158654m²