Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53314 / 94146
↖ ↑ ↗
← S 61.525314°
W 33.568726°		 ← 145.62 m → S 61.525314°
W 33.565979°		 →
↑
145.64 m
↓
↑
145.64 m
↓
S 61.526624°
W 33.568726°		 ← 145.61 m →
21 208 m²		 S 61.526624°
W 33.565979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406757354736328 y=0.718280792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406757354736328 × 217)
    floor (0.406757354736328 × 131072)
    floor (53314.5)     		tx = 53314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718280792236328 × 217)
    floor (0.718280792236328 × 131072)
    floor (94146.5)     		ty = 94146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53314 / 94146 ti = "17/53314/94146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53314/94146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53314 ÷ 217
    53314 ÷ 131072     		x = 0.406753540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94146 ÷ 217
    94146 ÷ 131072     		y = 0.718276977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406753540039062 × 2 - 1) × π
    -0.186492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58588479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718276977539062 × 2 - 1) × π
    -0.436553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37147469812981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58588479} λ = -0.58588479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37147469812981))-π/2
    2×atan(0.253732504666599)-π/2
    2×0.248488511793217-π/2
    0.496977023586433-1.57079632675     		φ = -1.07381930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58588479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.568726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07381930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.525314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53314 KachelY 94146 -0.58588479 -1.07381930 -33.568726 -61.525314
    Oben rechts KachelX + 1 53315 KachelY 94146 -0.58583685 -1.07381930 -33.565979 -61.525314
    Unten links KachelX 53314 KachelY + 1 94147 -0.58588479 -1.07384216 -33.568726 -61.526624
    Unten rechts KachelX + 1 53315 KachelY + 1 94147 -0.58583685 -1.07384216 -33.565979 -61.526624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07381930--1.07384216) × R
    2.28600000000689e-05 × 6371000     		dl = 145.641060000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07381930--1.07384216) × R
    2.28600000000689e-05 × 6371000     		dr = 145.641060000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58588479--0.58583685) × cos(-1.07381930) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.476770443493291 × 6371000     		do = 145.617965514308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58588479--0.58583685) × cos(-1.07384216) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.476750348792285 × 6371000     		du = 145.611828075384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07381930)-sin(-1.07384216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476770443493291-0.476750348792285)×R²
    abs(-0.58583685--0.58588479)×2.00947010052799e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00947010052799e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00947010052799e-05×40589641000000     		ar = 21207.5079220391m²