Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53312 / 86082
↖ ↑ ↗
← S 49.041469°
W 33.574219°		 ← 200.21 m → S 49.041469°
W 33.571472°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
S 49.043270°
W 33.574219°		 ← 200.20 m →
40 090 m²		 S 49.043270°
W 33.571472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406742095947266 y=0.656757354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406742095947266 × 217)
    floor (0.406742095947266 × 131072)
    floor (53312.5)     		tx = 53312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656757354736328 × 217)
    floor (0.656757354736328 × 131072)
    floor (86082.5)     		ty = 86082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53312 / 86082 ti = "17/53312/86082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53312/86082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53312 ÷ 217
    53312 ÷ 131072     		x = 0.40673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86082 ÷ 217
    86082 ÷ 131072     		y = 0.656753540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656753540039062 × 2 - 1) × π
    -0.313507080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.984911539593674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58598066} λ = -0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984911539593674))-π/2
    2×atan(0.373472262983583)-π/2
    2×0.357430612124294-π/2
    0.714861224248588-1.57079632675     		φ = -0.85593510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85593510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.041469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53312 KachelY 86082 -0.58598066 -0.85593510 -33.574219 -49.041469
    Oben rechts KachelX + 1 53313 KachelY 86082 -0.58593272 -0.85593510 -33.571472 -49.041469
    Unten links KachelX 53312 KachelY + 1 86083 -0.58598066 -0.85596653 -33.574219 -49.043270
    Unten rechts KachelX + 1 53313 KachelY + 1 86083 -0.58593272 -0.85596653 -33.571472 -49.043270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85593510--0.85596653) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dl = 200.240530000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85593510--0.85596653) × R
    3.14300000000545e-05 × 6371000     		dr = 200.240530000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58598066--0.58593272) × cos(-0.85593510) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.655512623675301 × 6371000     		do = 200.210428165703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58598066--0.58593272) × cos(-0.85596653) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.655488887911621 × 6371000     		du = 200.203178652516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85593510)-sin(-0.85596653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655512623675301-0.655488887911621)×R²
    abs(-0.58593272--0.58598066)×2.37357636796443e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37357636796443e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37357636796443e-05×40589641000000     		ar = 40089.5164276563m²