Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5331 / 9491
↖ ↑ ↗
← N 60.136034°
W121.431885°		 ← 608.31 m → N 60.136034°
W121.420899°		 →
↑
608.30 m
↓
↑
608.30 m
↓
N 60.130564°
W121.431885°		 ← 608.41 m →
370 065 m²		 N 60.130564°
W121.420899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162704467773438 y=0.289657592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162704467773438 × 215)
    floor (0.162704467773438 × 32768)
    floor (5331.5)     		tx = 5331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289657592773438 × 215)
    floor (0.289657592773438 × 32768)
    floor (9491.5)     		ty = 9491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5331 / 9491 ti = "15/5331/9491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5331/9491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5331 ÷ 215
    5331 ÷ 32768     		x = 0.162689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9491 ÷ 215
    9491 ÷ 32768     		y = 0.289642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.67462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11938621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289642333984375 × 2 - 1) × π
    0.42071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.32171619632419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11938621} λ = -2.11938621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32171619632419))-π/2
    2×atan(3.74985133922876)-π/2
    2×1.31018406508749-π/2
    2.62036813017498-1.57079632675     		φ = 1.04957180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11938621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.431885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04957180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.136034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5331 KachelY 9491 -2.11938621 1.04957180 -121.431885 60.136034
    Oben rechts KachelX + 1 5332 KachelY 9491 -2.11919446 1.04957180 -121.420899 60.136034
    Unten links KachelX 5331 KachelY + 1 9492 -2.11938621 1.04947632 -121.431885 60.130564
    Unten rechts KachelX + 1 5332 KachelY + 1 9492 -2.11919446 1.04947632 -121.420899 60.130564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04957180-1.04947632) × R
    9.54800000001477e-05 × 6371000     		dl = 608.303080000941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04957180-1.04947632) × R
    9.54800000001477e-05 × 6371000     		dr = 608.303080000941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11938621--2.11919446) × cos(1.04957180) × R
    0.000191749999999935 × 0.497942432889447 × 6371000     		do = 608.306020258033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11938621--2.11919446) × cos(1.04947632) × R
    0.000191749999999935 × 0.498025231838619 × 6371000     		du = 608.4071707042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04957180)-sin(1.04947632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.497942432889447-0.498025231838619)×R²
    abs(-2.11919446--2.11938621)×8.27989491716252e-05×R²
    0.000191749999999935×8.27989491716252e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.27989491716252e-05×40589641000000     		ar = 370065.191050893m²