Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53308 / 86092
↖ ↑ ↗
← S 49.059470°
W 33.585205°		 ← 200.14 m → S 49.059470°
W 33.582458°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
S 49.061270°
W 33.585205°		 ← 200.13 m →
40 050 m²		 S 49.061270°
W 33.582458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406711578369141 y=0.656833648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406711578369141 × 217)
    floor (0.406711578369141 × 131072)
    floor (53308.5)     		tx = 53308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656833648681641 × 217)
    floor (0.656833648681641 × 131072)
    floor (86092.5)     		ty = 86092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53308 / 86092 ti = "17/53308/86092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53308/86092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53308 ÷ 217
    53308 ÷ 131072     		x = 0.406707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86092 ÷ 217
    86092 ÷ 131072     		y = 0.656829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.18658447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58617241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656829833984375 × 2 - 1) × π
    -0.31365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.985390908589874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58617241} λ = -0.58617241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985390908589874))-π/2
    2×atan(0.373293274863873)-π/2
    2×0.357273524348674-π/2
    0.714547048697347-1.57079632675     		φ = -0.85624928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58617241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.585205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85624928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.059470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53308 KachelY 86092 -0.58617241 -0.85624928 -33.585205 -49.059470
    Oben rechts KachelX + 1 53309 KachelY 86092 -0.58612447 -0.85624928 -33.582458 -49.059470
    Unten links KachelX 53308 KachelY + 1 86093 -0.58617241 -0.85628069 -33.585205 -49.061270
    Unten rechts KachelX + 1 53309 KachelY + 1 86093 -0.58612447 -0.85628069 -33.582458 -49.061270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85624928--0.85628069) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dl = 200.113109999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85624928--0.85628069) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dr = 200.113109999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58617241--0.58612447) × cos(-0.85624928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655275327549678 × 6371000     		do = 200.137951820472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58617241--0.58612447) × cos(-0.85628069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655251600422526 × 6371000     		du = 200.130704945103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85624928)-sin(-0.85628069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655275327549678-0.655251600422526)×R²
    abs(-0.58612447--0.58617241)×2.37271271521511e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37271271521511e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37271271521511e-05×40589641000000     		ar = 40049.5028736062m²