Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53305 / 93987
↖ ↑ ↗
← S 61.316407°
W 33.593445°		 ← 146.60 m → S 61.316407°
W 33.590698°		 →
↑
146.60 m
↓
↑
146.60 m
↓
S 61.317725°
W 33.593445°		 ← 146.59 m →
21 490 m²		 S 61.317725°
W 33.590698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406688690185547 y=0.717067718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406688690185547 × 217)
    floor (0.406688690185547 × 131072)
    floor (53305.5)     		tx = 53305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717067718505859 × 217)
    floor (0.717067718505859 × 131072)
    floor (93987.5)     		ty = 93987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53305 / 93987 ti = "17/53305/93987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53305/93987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53305 ÷ 217
    53305 ÷ 131072     		x = 0.406684875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93987 ÷ 217
    93987 ÷ 131072     		y = 0.717063903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406684875488281 × 2 - 1) × π
    -0.186630249023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.58631622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717063903808594 × 2 - 1) × π
    -0.434127807617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.36385273109022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58631622} λ = -0.58631622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36385273109022))-π/2
    2×atan(0.255673834431427)-π/2
    2×0.250311572427965-π/2
    0.50062314485593-1.57079632675     		φ = -1.07017318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58631622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.593445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07017318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.316407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53305 KachelY 93987 -0.58631622 -1.07017318 -33.593445 -61.316407
    Oben rechts KachelX + 1 53306 KachelY 93987 -0.58626828 -1.07017318 -33.590698 -61.316407
    Unten links KachelX 53305 KachelY + 1 93988 -0.58631622 -1.07019619 -33.593445 -61.317725
    Unten rechts KachelX + 1 53306 KachelY + 1 93988 -0.58626828 -1.07019619 -33.590698 -61.317725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07017318--1.07019619) × R
    2.30100000000455e-05 × 6371000     		dl = 146.59671000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07017318--1.07019619) × R
    2.30100000000455e-05 × 6371000     		dr = 146.59671000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58631622--0.58626828) × cos(-1.07017318) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479972308246185 × 6371000     		do = 146.595897425843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58631622--0.58626828) × cos(-1.07019619) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.47995212182259 × 6371000     		du = 146.589731972478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07017318)-sin(-1.07019619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479972308246185-0.47995212182259)×R²
    abs(-0.58626828--0.58631622)×2.01864235955251e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01864235955251e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01864235955251e-05×40589641000000     		ar = 21490.0243454068m²