Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53304 / 93992
↖ ↑ ↗
← S 61.322997°
W 33.596192°		 ← 146.57 m → S 61.322997°
W 33.593445°		 →
↑
146.53 m
↓
↑
146.53 m
↓
S 61.324315°
W 33.596192°		 ← 146.56 m →
21 476 m²		 S 61.324315°
W 33.593445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406681060791016 y=0.717105865478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406681060791016 × 217)
    floor (0.406681060791016 × 131072)
    floor (53304.5)     		tx = 53304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717105865478516 × 217)
    floor (0.717105865478516 × 131072)
    floor (93992.5)     		ty = 93992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53304 / 93992 ti = "17/53304/93992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53304/93992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53304 ÷ 217
    53304 ÷ 131072     		x = 0.40667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93992 ÷ 217
    93992 ÷ 131072     		y = 0.71710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58636416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71710205078125 × 2 - 1) × π
    -0.4342041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36409241558832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58636416} λ = -0.58636416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36409241558832))-π/2
    2×atan(0.255612560720216)-π/2
    2×0.250254057514473-π/2
    0.500508115028946-1.57079632675     		φ = -1.07028821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58636416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.596192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07028821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.322997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53304 KachelY 93992 -0.58636416 -1.07028821 -33.596192 -61.322997
    Oben rechts KachelX + 1 53305 KachelY 93992 -0.58631622 -1.07028821 -33.593445 -61.322997
    Unten links KachelX 53304 KachelY + 1 93993 -0.58636416 -1.07031121 -33.596192 -61.324315
    Unten rechts KachelX + 1 53305 KachelY + 1 93993 -0.58631622 -1.07031121 -33.593445 -61.324315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07028821--1.07031121) × R
    2.30000000001063e-05 × 6371000     		dl = 146.533000000677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07028821--1.07031121) × R
    2.30000000001063e-05 × 6371000     		dr = 146.533000000677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58636416--0.58631622) × cos(-1.07028821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479871391133937 × 6371000     		do = 146.565074741816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58636416--0.58631622) × cos(-1.07031121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47985121221359 × 6371000     		du = 146.558911580137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07028821)-sin(-1.07031121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479871391133937-0.47985121221359)×R²
    abs(-0.58631622--0.58636416)×2.01789203465585e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01789203465585e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01789203465585e-05×40589641000000     		ar = 21476.1685447767m²