Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53304 / 93991
↖ ↑ ↗
← S 61.321679°
W 33.596192°		 ← 146.57 m → S 61.321679°
W 33.593445°		 →
↑
146.53 m
↓
↑
146.53 m
↓
S 61.322997°
W 33.596192°		 ← 146.57 m →
21 477 m²		 S 61.322997°
W 33.593445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406681060791016 y=0.717098236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406681060791016 × 217)
    floor (0.406681060791016 × 131072)
    floor (53304.5)     		tx = 53304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717098236083984 × 217)
    floor (0.717098236083984 × 131072)
    floor (93991.5)     		ty = 93991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53304 / 93991 ti = "17/53304/93991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53304/93991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53304 ÷ 217
    53304 ÷ 131072     		x = 0.40667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93991 ÷ 217
    93991 ÷ 131072     		y = 0.717094421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58636416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717094421386719 × 2 - 1) × π
    -0.434188842773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.3640444786887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58636416} λ = -0.58636416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3640444786887))-π/2
    2×atan(0.255624814287578)-π/2
    2×0.250265559529656-π/2
    0.500531119059313-1.57079632675     		φ = -1.07026521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58636416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.596192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07026521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.321679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53304 KachelY 93991 -0.58636416 -1.07026521 -33.596192 -61.321679
    Oben rechts KachelX + 1 53305 KachelY 93991 -0.58631622 -1.07026521 -33.593445 -61.321679
    Unten links KachelX 53304 KachelY + 1 93992 -0.58636416 -1.07028821 -33.596192 -61.322997
    Unten rechts KachelX + 1 53305 KachelY + 1 93992 -0.58631622 -1.07028821 -33.593445 -61.322997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07026521--1.07028821) × R
    2.29999999998842e-05 × 6371000     		dl = 146.532999999262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07026521--1.07028821) × R
    2.29999999998842e-05 × 6371000     		dr = 146.532999999262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58636416--0.58631622) × cos(-1.07026521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479891569800431 × 6371000     		do = 146.571237825962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58636416--0.58631622) × cos(-1.07028821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479871391133937 × 6371000     		du = 146.565074741816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07026521)-sin(-1.07028821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479891569800431-0.479871391133937)×R²
    abs(-0.58631622--0.58636416)×2.01786664943415e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01786664943415e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01786664943415e-05×40589641000000     		ar = 21477.0716455584m²