Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 533 / 541
↖ ↑ ↗
← S 10.141932°
E  7.382813°		 ← 38.481 km → S 10.141932°
E  7.734375°		 →
↑
38.460 km
↓
↑
38.460 km
↓
S 10.487812°
E  7.382813°		 ← 38.439 km →
1 479.18 km²		 S 10.487812°
E  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52099609375 y=0.52880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52099609375 × 210)
    floor (0.52099609375 × 1024)
    floor (533.5)     		tx = 533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52880859375 × 210)
    floor (0.52880859375 × 1024)
    floor (541.5)     		ty = 541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 533 / 541 ti = "10/533/541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/533/541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 533 ÷ 210
    533 ÷ 1024     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 541 ÷ 210
    541 ÷ 1024     		y = 0.5283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5283203125 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177941771389648))-π/2
    2×atan(0.836991158901916)-π/2
    2×0.696893113182288-π/2
    1.39378622636458-1.57079632675     		φ = -0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 533 KachelY 541 0.12885439 -0.17701010 7.382813 -10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 534 KachelY 541 0.13499031 -0.17701010 7.734375 -10.141932
    Unten links KachelX 533 KachelY + 1 542 0.12885439 -0.18304685 7.382813 -10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 534 KachelY + 1 542 0.13499031 -0.18304685 7.734375 -10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17701010--0.18304685) × R
    0.00603675000000001 × 6371000     		dl = 38460.13425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17701010--0.18304685) × R
    0.00603675000000001 × 6371000     		dr = 38460.13425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.13499031) × cos(-0.17701010) × R
    0.00613591999999999 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 38481.1180438567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.13499031) × cos(-0.18304685) × R
    0.00613591999999999 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 38438.8626109092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17701010)-sin(-0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.983293650724252)×R²
    abs(0.13499031-0.12885439)×0.00108092425487361×R²
    0.00613591999999999×0.00108092425487361×6371000²
    0.00613591999999999×0.00108092425487361×40589641000000     		ar = 1479180883.31661m²