Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53297 / 94033
↖ ↑ ↗
← S 61.376989°
W 33.615417°		 ← 146.28 m → S 61.376989°
W 33.612671°		 →
↑
146.34 m
↓
↑
146.34 m
↓
S 61.378305°
W 33.615417°		 ← 146.28 m →
21 407 m²		 S 61.378305°
W 33.612671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406627655029297 y=0.717418670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406627655029297 × 217)
    floor (0.406627655029297 × 131072)
    floor (53297.5)     		tx = 53297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717418670654297 × 217)
    floor (0.717418670654297 × 131072)
    floor (94033.5)     		ty = 94033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53297 / 94033 ti = "17/53297/94033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53297/94033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53297 ÷ 217
    53297 ÷ 131072     		x = 0.406623840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94033 ÷ 217
    94033 ÷ 131072     		y = 0.717414855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406623840332031 × 2 - 1) × π
    -0.186752319335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.58669971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717414855957031 × 2 - 1) × π
    -0.434829711914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.36605782847274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58669971} λ = -0.58669971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36605782847274))-π/2
    2×atan(0.255110669872886)-π/2
    2×0.249782891218874-π/2
    0.499565782437748-1.57079632675     		φ = -1.07123054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58669971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.615417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07123054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.376989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53297 KachelY 94033 -0.58669971 -1.07123054 -33.615417 -61.376989
    Oben rechts KachelX + 1 53298 KachelY 94033 -0.58665178 -1.07123054 -33.612671 -61.376989
    Unten links KachelX 53297 KachelY + 1 94034 -0.58669971 -1.07125351 -33.615417 -61.378305
    Unten rechts KachelX + 1 53298 KachelY + 1 94034 -0.58665178 -1.07125351 -33.612671 -61.378305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07123054--1.07125351) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dl = 146.341870000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07123054--1.07125351) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dr = 146.341870000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58669971--0.58665178) × cos(-1.07123054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.479044435483526 × 6371000     		do = 146.281981279543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58669971--0.58665178) × cos(-1.07125351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.479024272505873 × 6371000     		du = 146.275824271756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07123054)-sin(-1.07125351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479044435483526-0.479024272505873)×R²
    abs(-0.58665178--0.58669971)×2.01629776528378e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01629776528378e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01629776528378e-05×40589641000000     		ar = 21406.7281747026m²