Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53297 / 22416
↖ ↑ ↗
← N 49.325122°
E112.769165°		 ← 398.13 m → N 49.325122°
E112.774658°		 →
↑
398.12 m
↓
↑
398.12 m
↓
N 49.321541°
E112.769165°		 ← 398.16 m →
158 512 m²		 N 49.321541°
E112.774658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813255310058594 y=0.342048645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813255310058594 × 216)
    floor (0.813255310058594 × 65536)
    floor (53297.5)     		tx = 53297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342048645019531 × 216)
    floor (0.342048645019531 × 65536)
    floor (22416.5)     		ty = 22416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53297 / 22416 ti = "16/53297/22416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53297/22416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53297 ÷ 216
    53297 ÷ 65536     		x = 0.813247680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22416 ÷ 216
    22416 ÷ 65536     		y = 0.342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813247680664062 × 2 - 1) × π
    0.626495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96819322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342041015625 × 2 - 1) × π
    0.31591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.992485569733643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96819322} λ = 1.96819322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992485569733643))-π/2
    2×atan(2.69793204349177)-π/2
    2×1.21584105473396-π/2
    2.43168210946792-1.57079632675     		φ = 0.86088578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96819322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.769165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86088578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.325122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53297 KachelY 22416 1.96819322 0.86088578 112.769165 49.325122
    Oben rechts KachelX + 1 53298 KachelY 22416 1.96828910 0.86088578 112.774658 49.325122
    Unten links KachelX 53297 KachelY + 1 22417 1.96819322 0.86082329 112.769165 49.321541
    Unten rechts KachelX + 1 53298 KachelY + 1 22417 1.96828910 0.86082329 112.774658 49.321541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86088578-0.86082329) × R
    6.24900000000261e-05 × 6371000     		dl = 398.123790000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86088578-0.86082329) × R
    6.24900000000261e-05 × 6371000     		dr = 398.123790000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96819322-1.96828910) × cos(0.86088578) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.651765930513245 × 6371000     		do = 398.132183267332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96819322-1.96828910) × cos(0.86082329) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.651813322917788 × 6371000     		du = 398.161132987788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86088578)-sin(0.86082329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651765930513245-0.651813322917788)×R²
    abs(1.96828910-1.96819322)×4.73924045428786e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.73924045428786e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.73924045428786e-05×40589641000000     		ar = 158511.65656117m²