Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53295 / 94031
↖ ↑ ↗
← S 61.374357°
W 33.620911°		 ← 146.32 m → S 61.374357°
W 33.618164°		 →
↑
146.34 m
↓
↑
146.34 m
↓
S 61.375673°
W 33.620911°		 ← 146.32 m →
21 413 m²		 S 61.375673°
W 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406612396240234 y=0.717403411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406612396240234 × 217)
    floor (0.406612396240234 × 131072)
    floor (53295.5)     		tx = 53295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717403411865234 × 217)
    floor (0.717403411865234 × 131072)
    floor (94031.5)     		ty = 94031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53295 / 94031 ti = "17/53295/94031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53295/94031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53295 ÷ 217
    53295 ÷ 131072     		x = 0.406608581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94031 ÷ 217
    94031 ÷ 131072     		y = 0.717399597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406608581542969 × 2 - 1) × π
    -0.186782836914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.58679559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717399597167969 × 2 - 1) × π
    -0.434799194335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.3659619546735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58679559} λ = -0.58679559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3659619546735))-π/2
    2×atan(0.255135129474532)-π/2
    2×0.249805856090015-π/2
    0.499611712180031-1.57079632675     		φ = -1.07118461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58679559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.620911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07118461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.374357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53295 KachelY 94031 -0.58679559 -1.07118461 -33.620911 -61.374357
    Oben rechts KachelX + 1 53296 KachelY 94031 -0.58674765 -1.07118461 -33.618164 -61.374357
    Unten links KachelX 53295 KachelY + 1 94032 -0.58679559 -1.07120758 -33.620911 -61.375673
    Unten rechts KachelX + 1 53296 KachelY + 1 94032 -0.58674765 -1.07120758 -33.618164 -61.375673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07118461--1.07120758) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dl = 146.341870000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07118461--1.07120758) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dr = 146.341870000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58679559--0.58674765) × cos(-1.07118461) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479084751902873 × 6371000     		do = 146.324814872894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58679559--0.58674765) × cos(-1.07120758) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479064589430628 × 6371000     		du = 146.318656734889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07118461)-sin(-1.07120758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479084751902873-0.479064589430628)×R²
    abs(-0.58674765--0.58679559)×2.0162472244567e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.0162472244567e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.0162472244567e-05×40589641000000     		ar = 21412.996440228m²