Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53295 / 22384
↖ ↑ ↗
← N 49.439557°
E112.758179°		 ← 397.16 m → N 49.439557°
E112.763672°		 →
↑
397.17 m
↓
↑
397.17 m
↓
N 49.435985°
E112.758179°		 ← 397.19 m →
157 747 m²		 N 49.435985°
E112.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813224792480469 y=0.341560363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813224792480469 × 216)
    floor (0.813224792480469 × 65536)
    floor (53295.5)     		tx = 53295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341560363769531 × 216)
    floor (0.341560363769531 × 65536)
    floor (22384.5)     		ty = 22384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53295 / 22384 ti = "16/53295/22384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53295/22384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53295 ÷ 216
    53295 ÷ 65536     		x = 0.813217163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22384 ÷ 216
    22384 ÷ 65536     		y = 0.341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813217163085938 × 2 - 1) × π
    0.626434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96800148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341552734375 × 2 - 1) × π
    0.31689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.995553531309326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96800148} λ = 1.96800148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995553531309326))-π/2
    2×atan(2.7062219053215)-π/2
    2×1.21683968821859-π/2
    2.43367937643719-1.57079632675     		φ = 0.86288305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96800148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.758179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86288305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.439557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53295 KachelY 22384 1.96800148 0.86288305 112.758179 49.439557
    Oben rechts KachelX + 1 53296 KachelY 22384 1.96809735 0.86288305 112.763672 49.439557
    Unten links KachelX 53295 KachelY + 1 22385 1.96800148 0.86282071 112.758179 49.435985
    Unten rechts KachelX + 1 53296 KachelY + 1 22385 1.96809735 0.86282071 112.763672 49.435985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86288305-0.86282071) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dl = 397.168139999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86288305-0.86282071) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dr = 397.168139999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96800148-1.96809735) × cos(0.86288305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650249861669064 × 6371000     		do = 397.164662951647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96800148-1.96809735) × cos(0.86282071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650297221376525 × 6371000     		du = 397.193589681755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86288305)-sin(0.86282071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650249861669064-0.650297221376525)×R²
    abs(1.96809735-1.96800148)×4.73597074612808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73597074612808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73597074612808e-05×40589641000000     		ar = 157746.89489701m²