Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53291 / 22391
↖ ↑ ↗
← N 49.414547°
E112.736206°		 ← 397.41 m → N 49.414547°
E112.741699°		 →
↑
397.36 m
↓
↑
397.36 m
↓
N 49.410973°
E112.736206°		 ← 397.44 m →
157 920 m²		 N 49.410973°
E112.741699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813163757324219 y=0.341667175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813163757324219 × 216)
    floor (0.813163757324219 × 65536)
    floor (53291.5)     		tx = 53291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341667175292969 × 216)
    floor (0.341667175292969 × 65536)
    floor (22391.5)     		ty = 22391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53291 / 22391 ti = "16/53291/22391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53291/22391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53291 ÷ 216
    53291 ÷ 65536     		x = 0.813156127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22391 ÷ 216
    22391 ÷ 65536     		y = 0.341659545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813156127929688 × 2 - 1) × π
    0.626312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96761798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341659545898438 × 2 - 1) × π
    0.316680908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.994882414714645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96761798} λ = 1.96761798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994882414714645))-π/2
    2×atan(2.70440632419341)-π/2
    2×1.21662143585455-π/2
    2.4332428717091-1.57079632675     		φ = 0.86244654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96761798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.736206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86244654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.414547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53291 KachelY 22391 1.96761798 0.86244654 112.736206 49.414547
    Oben rechts KachelX + 1 53292 KachelY 22391 1.96771386 0.86244654 112.741699 49.414547
    Unten links KachelX 53291 KachelY + 1 22392 1.96761798 0.86238417 112.736206 49.410973
    Unten rechts KachelX + 1 53292 KachelY + 1 22392 1.96771386 0.86238417 112.741699 49.410973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86244654-0.86238417) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dl = 397.359269999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86244654-0.86238417) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dr = 397.359269999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96761798-1.96771386) × cos(0.86244654) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.650581425269685 × 6371000     		do = 397.408626486236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96761798-1.96771386) × cos(0.86238417) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.650628790059247 × 6371000     		du = 397.43755933804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86244654)-sin(0.86238417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650581425269685-0.650628790059247)×R²
    abs(1.96771386-1.96761798)×4.73647895626872e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.73647895626872e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.73647895626872e-05×40589641000000     		ar = 157919.750132098m²