Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53289 / 22440
↖ ↑ ↗
← N 49.239121°
E112.725219°		 ← 398.83 m → N 49.239121°
E112.730713°		 →
↑
398.82 m
↓
↑
398.82 m
↓
N 49.235534°
E112.725219°		 ← 398.86 m →
159 068 m²		 N 49.235534°
E112.730713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813133239746094 y=0.342414855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813133239746094 × 216)
    floor (0.813133239746094 × 65536)
    floor (53289.5)     		tx = 53289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342414855957031 × 216)
    floor (0.342414855957031 × 65536)
    floor (22440.5)     		ty = 22440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53289 / 22440 ti = "16/53289/22440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53289/22440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53289 ÷ 216
    53289 ÷ 65536     		x = 0.813125610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22440 ÷ 216
    22440 ÷ 65536     		y = 0.3424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813125610351562 × 2 - 1) × π
    0.626251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96742623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3424072265625 × 2 - 1) × π
    0.315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99018459855188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96742623} λ = 1.96742623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99018459855188))-π/2
    2×atan(2.69173131619254)-π/2
    2×1.21509055304515-π/2
    2.4301811060903-1.57079632675     		φ = 0.85938478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96742623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.725219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85938478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.239121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53289 KachelY 22440 1.96742623 0.85938478 112.725219 49.239121
    Oben rechts KachelX + 1 53290 KachelY 22440 1.96752211 0.85938478 112.730713 49.239121
    Unten links KachelX 53289 KachelY + 1 22441 1.96742623 0.85932218 112.725219 49.235534
    Unten rechts KachelX + 1 53290 KachelY + 1 22441 1.96752211 0.85932218 112.730713 49.235534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85938478-0.85932218) × R
    6.25999999999127e-05 × 6371000     		dl = 398.824599999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85938478-0.85932218) × R
    6.25999999999127e-05 × 6371000     		dr = 398.824599999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96742623-1.96752211) × cos(0.85938478) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.652903584563817 × 6371000     		do = 398.827120927851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96742623-1.96752211) × cos(0.85932218) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.652950999092785 × 6371000     		du = 398.856084163045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85938478)-sin(0.85932218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652903584563817-0.652950999092785)×R²
    abs(1.96752211-1.96742623)×4.74145289680594e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74145289680594e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74145289680594e-05×40589641000000     		ar = 159067.842650447m²