Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53286 / 86050
↖ ↑ ↗
← S 48.983822°
W 33.645630°		 ← 200.44 m → S 48.983822°
W 33.642883°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 48.985625°
W 33.645630°		 ← 200.44 m →
40 174 m²		 S 48.985625°
W 33.642883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406543731689453 y=0.656513214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406543731689453 × 217)
    floor (0.406543731689453 × 131072)
    floor (53286.5)     		tx = 53286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656513214111328 × 217)
    floor (0.656513214111328 × 131072)
    floor (86050.5)     		ty = 86050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53286 / 86050 ti = "17/53286/86050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53286/86050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53286 ÷ 217
    53286 ÷ 131072     		x = 0.406539916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86050 ÷ 217
    86050 ÷ 131072     		y = 0.656509399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406539916992188 × 2 - 1) × π
    -0.186920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58722702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656509399414062 × 2 - 1) × π
    -0.313018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.983377558805832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58722702} λ = -0.58722702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983377558805832))-π/2
    2×atan(0.374045601892801)-π/2
    2×0.357933675250955-π/2
    0.71586735050191-1.57079632675     		φ = -0.85492898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58722702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.645630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85492898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.983822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53286 KachelY 86050 -0.58722702 -0.85492898 -33.645630 -48.983822
    Oben rechts KachelX + 1 53287 KachelY 86050 -0.58717908 -0.85492898 -33.642883 -48.983822
    Unten links KachelX 53286 KachelY + 1 86051 -0.58722702 -0.85496044 -33.645630 -48.985625
    Unten rechts KachelX + 1 53287 KachelY + 1 86051 -0.58717908 -0.85496044 -33.642883 -48.985625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85492898--0.85496044) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dl = 200.4316600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85492898--0.85496044) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dr = 200.4316600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58722702--0.58717908) × cos(-0.85492898) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.656272097710288 × 6371000     		do = 200.44239108485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58722702--0.58717908) × cos(-0.85496044) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.656248360050745 × 6371000     		du = 200.435140992618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85492898)-sin(-0.85496044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656272097710288-0.656248360050745)×R²
    abs(-0.58717908--0.58722702)×2.37376595426664e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37376595426664e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37376595426664e-05×40589641000000     		ar = 40174.2746088186m²