Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53281 / 26527
↖ ↑ ↗
← N 32.403154°
E112.681274°		 ← 515.74 m → N 32.403154°
E112.686768°		 →
↑
515.73 m
↓
↑
515.73 m
↓
N 32.398516°
E112.681274°		 ← 515.77 m →
265 991 m²		 N 32.398516°
E112.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813011169433594 y=0.404777526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813011169433594 × 216)
    floor (0.813011169433594 × 65536)
    floor (53281.5)     		tx = 53281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404777526855469 × 216)
    floor (0.404777526855469 × 65536)
    floor (26527.5)     		ty = 26527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53281 / 26527 ti = "16/53281/26527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53281/26527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53281 ÷ 216
    53281 ÷ 65536     		x = 0.813003540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26527 ÷ 216
    26527 ÷ 65536     		y = 0.404769897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813003540039062 × 2 - 1) × π
    0.626007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96665924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404769897460938 × 2 - 1) × π
    0.190460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.598348381057541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96665924} λ = 1.96665924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598348381057541))-π/2
    2×atan(1.81911183832567)-π/2
    2×1.06816902423527-π/2
    2.13633804847053-1.57079632675     		φ = 0.56554172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96665924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.681274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56554172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.403154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53281 KachelY 26527 1.96665924 0.56554172 112.681274 32.403154
    Oben rechts KachelX + 1 53282 KachelY 26527 1.96675512 0.56554172 112.686768 32.403154
    Unten links KachelX 53281 KachelY + 1 26528 1.96665924 0.56546077 112.681274 32.398516
    Unten rechts KachelX + 1 53282 KachelY + 1 26528 1.96675512 0.56546077 112.686768 32.398516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56554172-0.56546077) × R
    8.09500000000796e-05 × 6371000     		dl = 515.732450000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56554172-0.56546077) × R
    8.09500000000796e-05 × 6371000     		dr = 515.732450000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96665924-1.96675512) × cos(0.56554172) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.844298431054972 × 6371000     		do = 515.740946171269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96665924-1.96675512) × cos(0.56546077) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.844341807229663 × 6371000     		du = 515.767442571776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56554172)-sin(0.56546077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844298431054972-0.844341807229663)×R²
    abs(1.96675512-1.96665924)×4.33761746916339e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.33761746916339e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.33761746916339e-05×40589641000000     		ar = 265991.174406338m²