Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5328 / 3280
↖ ↑ ↗
← N 80.732349°
W121.464844°		 ← 196.74 m → N 80.732349°
W121.453857°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
N 80.730579°
W121.464844°		 ← 196.78 m →
38 722 m²		 N 80.730579°
W121.453857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162612915039062 y=0.100112915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162612915039062 × 215)
    floor (0.162612915039062 × 32768)
    floor (5328.5)     		tx = 5328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100112915039062 × 215)
    floor (0.100112915039062 × 32768)
    floor (3280.5)     		ty = 3280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5328 / 3280 ti = "15/5328/3280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5328/3280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5328 ÷ 215
    5328 ÷ 32768     		x = 0.16259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3280 ÷ 215
    3280 ÷ 32768     		y = 0.10009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16259765625 × 2 - 1) × π
    -0.6748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11996145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10009765625 × 2 - 1) × π
    0.7998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51266053048486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11996145} λ = -2.11996145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51266053048486))-π/2
    2×atan(12.3377112904447)-π/2
    2×1.48992081089356-π/2
    2.97984162178712-1.57079632675     		φ = 1.40904530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11996145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40904530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.732349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5328 KachelY 3280 -2.11996145 1.40904530 -121.464844 80.732349
    Oben rechts KachelX + 1 5329 KachelY 3280 -2.11976970 1.40904530 -121.453857 80.732349
    Unten links KachelX 5328 KachelY + 1 3281 -2.11996145 1.40901441 -121.464844 80.730579
    Unten rechts KachelX + 1 5329 KachelY + 1 3281 -2.11976970 1.40901441 -121.453857 80.730579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40904530-1.40901441) × R
    3.08900000001167e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40904530-1.40901441) × R
    3.08900000001167e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11996145--2.11976970) × cos(1.40904530) × R
    0.000191749999999935 × 0.161046622914414 × 6371000     		do = 196.74087563213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11996145--2.11976970) × cos(1.40901441) × R
    0.000191749999999935 × 0.161077109624214 × 6371000     		du = 196.778119393426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40904530)-sin(1.40901441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161046622914414-0.161077109624214)×R²
    abs(-2.11976970--2.11996145)×3.04867098002981e-05×R²
    0.000191749999999935×3.04867098002981e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.04867098002981e-05×40589641000000     		ar = 38722.3064980408m²