Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5328 / 2736
↖ ↑ ↗
← N 81.646927°
W121.464844°		 ← 177.47 m → N 81.646927°
W121.453857°		 →
↑
177.50 m
↓
↑
177.50 m
↓
N 81.645331°
W121.464844°		 ← 177.50 m →
31 503 m²		 N 81.645331°
W121.453857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162612915039062 y=0.0835113525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162612915039062 × 215)
    floor (0.162612915039062 × 32768)
    floor (5328.5)     		tx = 5328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835113525390625 × 215)
    floor (0.0835113525390625 × 32768)
    floor (2736.5)     		ty = 2736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5328 / 2736 ti = "15/5328/2736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5328/2736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5328 ÷ 215
    5328 ÷ 32768     		x = 0.16259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2736 ÷ 215
    2736 ÷ 32768     		y = 0.08349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16259765625 × 2 - 1) × π
    -0.6748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11996145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08349609375 × 2 - 1) × π
    0.8330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61697122405811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11996145} λ = -2.11996145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61697122405811))-π/2
    2×atan(13.6941840945988)-π/2
    2×1.49790201110527-π/2
    2.99580402221054-1.57079632675     		φ = 1.42500770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11996145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42500770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.646927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5328 KachelY 2736 -2.11996145 1.42500770 -121.464844 81.646927
    Oben rechts KachelX + 1 5329 KachelY 2736 -2.11976970 1.42500770 -121.453857 81.646927
    Unten links KachelX 5328 KachelY + 1 2737 -2.11996145 1.42497984 -121.464844 81.645331
    Unten rechts KachelX + 1 5329 KachelY + 1 2737 -2.11976970 1.42497984 -121.453857 81.645331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42500770-1.42497984) × R
    2.78600000001017e-05 × 6371000     		dl = 177.496060000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42500770-1.42497984) × R
    2.78600000001017e-05 × 6371000     		dr = 177.496060000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11996145--2.11976970) × cos(1.42500770) × R
    0.000191749999999935 × 0.145272735568472 × 6371000     		do = 177.470875725256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11996145--2.11976970) × cos(1.42497984) × R
    0.000191749999999935 × 0.145300299963391 × 6371000     		du = 177.504549471992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42500770)-sin(1.42497984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145272735568472-0.145300299963391)×R²
    abs(-2.11976970--2.11996145)×2.75643949192439e-05×R²
    0.000191749999999935×2.75643949192439e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.75643949192439e-05×40589641000000     		ar = 31503.3696861979m²