Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53279 / 86052
↖ ↑ ↗
← S 48.987427°
W 33.664856°		 ← 200.43 m → S 48.987427°
W 33.662109°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 48.989229°
W 33.664856°		 ← 200.42 m →
40 171 m²		 S 48.989229°
W 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406490325927734 y=0.656528472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406490325927734 × 217)
    floor (0.406490325927734 × 131072)
    floor (53279.5)     		tx = 53279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656528472900391 × 217)
    floor (0.656528472900391 × 131072)
    floor (86052.5)     		ty = 86052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53279 / 86052 ti = "17/53279/86052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53279/86052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53279 ÷ 217
    53279 ÷ 131072     		x = 0.406486511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86052 ÷ 217
    86052 ÷ 131072     		y = 0.656524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406486511230469 × 2 - 1) × π
    -0.187026977539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.58756258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.983473432605072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58756258} λ = -0.58756258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983473432605072))-π/2
    2×atan(0.374009742438877)-π/2
    2×0.357902216739024-π/2
    0.715804433478048-1.57079632675     		φ = -0.85499189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58756258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.664856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85499189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.987427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53279 KachelY 86052 -0.58756258 -0.85499189 -33.664856 -48.987427
    Oben rechts KachelX + 1 53280 KachelY 86052 -0.58751464 -0.85499189 -33.662109 -48.987427
    Unten links KachelX 53279 KachelY + 1 86053 -0.58756258 -0.85502335 -33.664856 -48.989229
    Unten rechts KachelX + 1 53280 KachelY + 1 86053 -0.58751464 -0.85502335 -33.662109 -48.989229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85499189--0.85502335) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85499189--0.85502335) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58756258--0.58751464) × cos(-0.85499189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656224629287349 × 6371000     		do = 200.427893006183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58756258--0.58751464) × cos(-0.85502335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656200890329017 × 6371000     		du = 200.420642517267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85499189)-sin(-0.85502335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656224629287349-0.656200890329017)×R²
    abs(-0.58751464--0.58756258)×2.37389583320757e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37389583320757e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37389583320757e-05×40589641000000     		ar = 40171.3686951645m²