Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53268 / 93965
↖ ↑ ↗
← S 61.287391°
W 33.695068°		 ← 146.70 m → S 61.287391°
W 33.692322°		 →
↑
146.72 m
↓
↑
146.72 m
↓
S 61.288710°
W 33.695068°		 ← 146.69 m →
21 524 m²		 S 61.288710°
W 33.692322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406406402587891 y=0.716899871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406406402587891 × 217)
    floor (0.406406402587891 × 131072)
    floor (53268.5)     		tx = 53268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716899871826172 × 217)
    floor (0.716899871826172 × 131072)
    floor (93965.5)     		ty = 93965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53268 / 93965 ti = "17/53268/93965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53268/93965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53268 ÷ 217
    53268 ÷ 131072     		x = 0.406402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93965 ÷ 217
    93965 ÷ 131072     		y = 0.716896057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.18719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58808988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716896057128906 × 2 - 1) × π
    -0.433792114257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.36279811929858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58808988} λ = -0.58808988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36279811929858))-π/2
    2×atan(0.255943613303018)-π/2
    2×0.250564781759995-π/2
    0.50112956351999-1.57079632675     		φ = -1.06966676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58808988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.695068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06966676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.287391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53268 KachelY 93965 -0.58808988 -1.06966676 -33.695068 -61.287391
    Oben rechts KachelX + 1 53269 KachelY 93965 -0.58804195 -1.06966676 -33.692322 -61.287391
    Unten links KachelX 53268 KachelY + 1 93966 -0.58808988 -1.06968979 -33.695068 -61.288710
    Unten rechts KachelX + 1 53269 KachelY + 1 93966 -0.58804195 -1.06968979 -33.692322 -61.288710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06966676--1.06968979) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dl = 146.724129999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06966676--1.06968979) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dr = 146.724129999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58808988--0.58804195) × cos(-1.06966676) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.480416520660535 × 6371000     		do = 146.700963994188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58808988--0.58804195) × cos(-1.06968979) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.480396322291365 × 6371000     		du = 146.694796179176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06966676)-sin(-1.06968979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480416520660535-0.480396322291365)×R²
    abs(-0.58804195--0.58808988)×2.01983691701657e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.01983691701657e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.01983691701657e-05×40589641000000     		ar = 21524.1188293971m²