Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53265 / 22639
↖ ↑ ↗
← N 48.520243°
E112.593384°		 ← 404.60 m → N 48.520243°
E112.598877°		 →
↑
404.56 m
↓
↑
404.56 m
↓
N 48.516604°
E112.593384°		 ← 404.63 m →
163 691 m²		 N 48.516604°
E112.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812767028808594 y=0.345451354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812767028808594 × 216)
    floor (0.812767028808594 × 65536)
    floor (53265.5)     		tx = 53265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345451354980469 × 216)
    floor (0.345451354980469 × 65536)
    floor (22639.5)     		ty = 22639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53265 / 22639 ti = "16/53265/22639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53265/22639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53265 ÷ 216
    53265 ÷ 65536     		x = 0.812759399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22639 ÷ 216
    22639 ÷ 65536     		y = 0.345443725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812759399414062 × 2 - 1) × π
    0.625518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96512526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345443725585938 × 2 - 1) × π
    0.309112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.971105712503098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96512526} λ = 1.96512526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971105712503098))-π/2
    2×atan(2.64086288069548)-π/2
    2×1.20881715968031-π/2
    2.41763431936062-1.57079632675     		φ = 0.84683799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96512526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.593384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84683799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.520243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53265 KachelY 22639 1.96512526 0.84683799 112.593384 48.520243
    Oben rechts KachelX + 1 53266 KachelY 22639 1.96522114 0.84683799 112.598877 48.520243
    Unten links KachelX 53265 KachelY + 1 22640 1.96512526 0.84677449 112.593384 48.516604
    Unten rechts KachelX + 1 53266 KachelY + 1 22640 1.96522114 0.84677449 112.598877 48.516604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84683799-0.84677449) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dl = 404.558499999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84683799-0.84677449) × R
    6.34999999999941e-05 × 6371000     		dr = 404.558499999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96512526-1.96522114) × cos(0.84683799) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.662355398725868 × 6371000     		do = 404.600775597421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96512526-1.96522114) × cos(0.84677449) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.662402970941446 × 6371000     		du = 404.629835155714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84683799)-sin(0.84677449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662355398725868-0.662402970941446)×R²
    abs(1.96522114-1.96512526)×4.75722155780511e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75722155780511e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75722155780511e-05×40589641000000     		ar = 163690.561074911m²