Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53264 / 93967
↖ ↑ ↗
← S 61.290030°
W 33.706055°		 ← 146.69 m → S 61.290030°
W 33.703308°		 →
↑
146.72 m
↓
↑
146.72 m
↓
S 61.291349°
W 33.706055°		 ← 146.68 m →
21 522 m²		 S 61.291349°
W 33.703308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406375885009766 y=0.716915130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406375885009766 × 217)
    floor (0.406375885009766 × 131072)
    floor (53264.5)     		tx = 53264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716915130615234 × 217)
    floor (0.716915130615234 × 131072)
    floor (93967.5)     		ty = 93967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53264 / 93967 ti = "17/53264/93967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53264/93967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53264 ÷ 217
    53264 ÷ 131072     		x = 0.4063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93967 ÷ 217
    93967 ÷ 131072     		y = 0.716911315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716911315917969 × 2 - 1) × π
    -0.433822631835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.36289399309782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58828163} λ = -0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36289399309782))-π/2
    2×atan(0.255919076192671)-π/2
    2×0.250541753049815-π/2
    0.501083506099629-1.57079632675     		φ = -1.06971282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06971282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.290030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53264 KachelY 93967 -0.58828163 -1.06971282 -33.706055 -61.290030
    Oben rechts KachelX + 1 53265 KachelY 93967 -0.58823370 -1.06971282 -33.703308 -61.290030
    Unten links KachelX 53264 KachelY + 1 93968 -0.58828163 -1.06973585 -33.706055 -61.291349
    Unten rechts KachelX + 1 53265 KachelY + 1 93968 -0.58823370 -1.06973585 -33.703308 -61.291349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06971282--1.06973585) × R
    2.3030000000146e-05 × 6371000     		dl = 146.72413000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06971282--1.06973585) × R
    2.3030000000146e-05 × 6371000     		dr = 146.72413000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58828163--0.58823370) × cos(-1.06971282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480376123667402 × 6371000     		do = 146.688628286699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58828163--0.58823370) × cos(-1.06973585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.480355924788656 × 6371000     		du = 146.682460316081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06971282)-sin(-1.06973585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480376123667402-0.480355924788656)×R²
    abs(-0.58823370--0.58828163)×2.01988787457696e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01988787457696e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01988787457696e-05×40589641000000     		ar = 21522.3088723332m²