Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53263 / 94213
↖ ↑ ↗
← S 61.612926°
W 33.708801°		 ← 145.21 m → S 61.612926°
W 33.706055°		 →
↑
145.20 m
↓
↑
145.20 m
↓
S 61.614232°
W 33.708801°		 ← 145.20 m →
21 083 m²		 S 61.614232°
W 33.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406368255615234 y=0.718791961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406368255615234 × 217)
    floor (0.406368255615234 × 131072)
    floor (53263.5)     		tx = 53263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718791961669922 × 217)
    floor (0.718791961669922 × 131072)
    floor (94213.5)     		ty = 94213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53263 / 94213 ti = "17/53263/94213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53263/94213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53263 ÷ 217
    53263 ÷ 131072     		x = 0.406364440917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94213 ÷ 217
    94213 ÷ 131072     		y = 0.718788146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406364440917969 × 2 - 1) × π
    -0.187271118164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.58832957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718788146972656 × 2 - 1) × π
    -0.437576293945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.37468647040435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58832957} λ = -0.58832957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37468647040435))-π/2
    2×atan(0.25291888092945)-π/2
    2×0.247723952823978-π/2
    0.495447905647956-1.57079632675     		φ = -1.07534842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58832957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.708801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07534842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.612926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53263 KachelY 94213 -0.58832957 -1.07534842 -33.708801 -61.612926
    Oben rechts KachelX + 1 53264 KachelY 94213 -0.58828163 -1.07534842 -33.706055 -61.612926
    Unten links KachelX 53263 KachelY + 1 94214 -0.58832957 -1.07537121 -33.708801 -61.614232
    Unten rechts KachelX + 1 53264 KachelY + 1 94214 -0.58828163 -1.07537121 -33.706055 -61.614232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07534842--1.07537121) × R
    2.27899999998282e-05 × 6371000     		dl = 145.195089998906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07534842--1.07537121) × R
    2.27899999998282e-05 × 6371000     		dr = 145.195089998906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58832957--0.58828163) × cos(-1.07534842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475425747571662 × 6371000     		do = 145.207260767033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58832957--0.58828163) × cos(-1.07537121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47540569781234 × 6371000     		du = 145.201137054455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07534842)-sin(-1.07537121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475425747571662-0.47540569781234)×R²
    abs(-0.58828163--0.58832957)×2.00497593219606e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00497593219606e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00497593219606e-05×40589641000000     		ar = 21082.9367301338m²