Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53262 / 94206
↖ ↑ ↗
← S 61.603784°
W 33.711548°		 ← 145.25 m → S 61.603784°
W 33.708801°		 →
↑
145.26 m
↓
↑
145.26 m
↓
S 61.605090°
W 33.711548°		 ← 145.24 m →
21 098 m²		 S 61.605090°
W 33.708801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406360626220703 y=0.718738555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406360626220703 × 217)
    floor (0.406360626220703 × 131072)
    floor (53262.5)     		tx = 53262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718738555908203 × 217)
    floor (0.718738555908203 × 131072)
    floor (94206.5)     		ty = 94206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53262 / 94206 ti = "17/53262/94206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53262/94206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53262 ÷ 217
    53262 ÷ 131072     		x = 0.406356811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94206 ÷ 217
    94206 ÷ 131072     		y = 0.718734741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406356811523438 × 2 - 1) × π
    -0.187286376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58837751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718734741210938 × 2 - 1) × π
    -0.437469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37435091210701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58837751} λ = -0.58837751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37435091210701))-π/2
    2×atan(0.253003764199347)-π/2
    2×0.247803731125726-π/2
    0.495607462251451-1.57079632675     		φ = -1.07518886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58837751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.711548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07518886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.603784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53262 KachelY 94206 -0.58837751 -1.07518886 -33.711548 -61.603784
    Oben rechts KachelX + 1 53263 KachelY 94206 -0.58832957 -1.07518886 -33.708801 -61.603784
    Unten links KachelX 53262 KachelY + 1 94207 -0.58837751 -1.07521166 -33.711548 -61.605090
    Unten rechts KachelX + 1 53263 KachelY + 1 94207 -0.58832957 -1.07521166 -33.708801 -61.605090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07518886--1.07521166) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dl = 145.258799999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07518886--1.07521166) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dr = 145.258799999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58837751--0.58832957) × cos(-1.07518886) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475566115362733 × 6371000     		do = 145.250132703829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58837751--0.58832957) × cos(-1.07521166) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475546058535546 × 6371000     		du = 145.244006832544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07518886)-sin(-1.07521166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475566115362733-0.475546058535546)×R²
    abs(-0.58832957--0.58837751)×2.0056827186421e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.0056827186421e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.0056827186421e-05×40589641000000     		ar = 21098.4150589951m²