Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53262 / 93969
↖ ↑ ↗
← S 61.292668°
W 33.711548°		 ← 146.71 m → S 61.292668°
W 33.708801°		 →
↑
146.72 m
↓
↑
146.72 m
↓
S 61.293988°
W 33.711548°		 ← 146.70 m →
21 525 m²		 S 61.293988°
W 33.708801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406360626220703 y=0.716930389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406360626220703 × 217)
    floor (0.406360626220703 × 131072)
    floor (53262.5)     		tx = 53262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716930389404297 × 217)
    floor (0.716930389404297 × 131072)
    floor (93969.5)     		ty = 93969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53262 / 93969 ti = "17/53262/93969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53262/93969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53262 ÷ 217
    53262 ÷ 131072     		x = 0.406356811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93969 ÷ 217
    93969 ÷ 131072     		y = 0.716926574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406356811523438 × 2 - 1) × π
    -0.187286376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58837751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716926574707031 × 2 - 1) × π
    -0.433853149414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.36298986689706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58837751} λ = -0.58837751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36298986689706))-π/2
    2×atan(0.255894541434677)-π/2
    2×0.250518726275975-π/2
    0.501037452551951-1.57079632675     		φ = -1.06975887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58837751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.711548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06975887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.292668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53262 KachelY 93969 -0.58837751 -1.06975887 -33.711548 -61.292668
    Oben rechts KachelX + 1 53263 KachelY 93969 -0.58832957 -1.06975887 -33.708801 -61.292668
    Unten links KachelX 53262 KachelY + 1 93970 -0.58837751 -1.06978190 -33.711548 -61.293988
    Unten rechts KachelX + 1 53263 KachelY + 1 93970 -0.58832957 -1.06978190 -33.708801 -61.293988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06975887--1.06978190) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dl = 146.724129999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06975887--1.06978190) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dr = 146.724129999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58837751--0.58832957) × cos(-1.06975887) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.480335734425986 × 6371000     		do = 146.706897135744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58837751--0.58832957) × cos(-1.06978190) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.480315535037819 × 6371000     		du = 146.700727722665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06975887)-sin(-1.06978190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480335734425986-0.480315535037819)×R²
    abs(-0.58832957--0.58837751)×2.01993881674412e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01993881674412e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01993881674412e-05×40589641000000     		ar = 21524.9892471468m²