Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53260 / 94094
↖ ↑ ↗
← S 61.457146°
W 33.717041°		 ← 145.94 m → S 61.457146°
W 33.714294°		 →
↑
145.90 m
↓
↑
145.90 m
↓
S 61.458458°
W 33.717041°		 ← 145.93 m →
21 291 m²		 S 61.458458°
W 33.714294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406345367431641 y=0.717884063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406345367431641 × 217)
    floor (0.406345367431641 × 131072)
    floor (53260.5)     		tx = 53260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717884063720703 × 217)
    floor (0.717884063720703 × 131072)
    floor (94094.5)     		ty = 94094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53260 / 94094 ti = "17/53260/94094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53260/94094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53260 ÷ 217
    53260 ÷ 131072     		x = 0.406341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94094 ÷ 217
    94094 ÷ 131072     		y = 0.717880249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.18731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58847338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717880249023438 × 2 - 1) × π
    -0.435760498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36898197934956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58847338} λ = -0.58847338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36898197934956))-π/2
    2×atan(0.254365777403651)-π/2
    2×0.249083390470677-π/2
    0.498166780941354-1.57079632675     		φ = -1.07262955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58847338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07262955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.457146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53260 KachelY 94094 -0.58847338 -1.07262955 -33.717041 -61.457146
    Oben rechts KachelX + 1 53261 KachelY 94094 -0.58842544 -1.07262955 -33.714294 -61.457146
    Unten links KachelX 53260 KachelY + 1 94095 -0.58847338 -1.07265245 -33.717041 -61.458458
    Unten rechts KachelX + 1 53261 KachelY + 1 94095 -0.58842544 -1.07265245 -33.714294 -61.458458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07262955--1.07265245) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dl = 145.895900000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07262955--1.07265245) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dr = 145.895900000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58847338--0.58842544) × cos(-1.07262955) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.477815929184239 × 6371000     		do = 145.937283755126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58847338--0.58842544) × cos(-1.07265245) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.477795812325395 × 6371000     		du = 145.931139548627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07262955)-sin(-1.07265245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477815929184239-0.477795812325395)×R²
    abs(-0.58842544--0.58847338)×2.01168588437328e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01168588437328e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01168588437328e-05×40589641000000     		ar = 21291.2031508003m²