Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53260 / 102404
↖ ↑ ↗
← S 70.616261°
W 33.717041°		 ← 101.37 m → S 70.616261°
W 33.714294°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 70.617173°
W 33.717041°		 ← 101.36 m →
10 275 m²		 S 70.617173°
W 33.714294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406345367431641 y=0.781284332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406345367431641 × 217)
    floor (0.406345367431641 × 131072)
    floor (53260.5)     		tx = 53260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781284332275391 × 217)
    floor (0.781284332275391 × 131072)
    floor (102404.5)     		ty = 102404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53260 / 102404 ti = "17/53260/102404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53260/102404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53260 ÷ 217
    53260 ÷ 131072     		x = 0.406341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102404 ÷ 217
    102404 ÷ 131072     		y = 0.781280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.18731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58847338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.56256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76733761519223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58847338} λ = -0.58847338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76733761519223))-π/2
    2×atan(0.170787085008279)-π/2
    2×0.169155034697114-π/2
    0.338310069394227-1.57079632675     		φ = -1.23248626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58847338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23248626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.616261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53260 KachelY 102404 -0.58847338 -1.23248626 -33.717041 -70.616261
    Oben rechts KachelX + 1 53261 KachelY 102404 -0.58842544 -1.23248626 -33.714294 -70.616261
    Unten links KachelX 53260 KachelY + 1 102405 -0.58847338 -1.23250217 -33.717041 -70.617173
    Unten rechts KachelX + 1 53261 KachelY + 1 102405 -0.58842544 -1.23250217 -33.714294 -70.617173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23248626--1.23250217) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dl = 101.362610000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23248626--1.23250217) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dr = 101.362610000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58847338--0.58842544) × cos(-1.23248626) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331893424287114 × 6371000     		do = 101.368794714194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58847338--0.58842544) × cos(-1.23250217) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.331878416073389 × 6371000     		du = 101.364210819411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23248626)-sin(-1.23250217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331893424287114-0.331878416073389)×R²
    abs(-0.58842544--0.58847338)×1.50082137247987e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.50082137247987e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.50082137247987e-05×40589641000000     		ar = 10274.7732871571m²