Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53258 / 94169
↖ ↑ ↗
← S 61.555418°
W 33.722534°		 ← 145.45 m → S 61.555418°
W 33.719788°		 →
↑
145.45 m
↓
↑
145.45 m
↓
S 61.556726°
W 33.722534°		 ← 145.44 m →
21 155 m²		 S 61.556726°
W 33.719788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406330108642578 y=0.718456268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406330108642578 × 217)
    floor (0.406330108642578 × 131072)
    floor (53258.5)     		tx = 53258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718456268310547 × 217)
    floor (0.718456268310547 × 131072)
    floor (94169.5)     		ty = 94169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53258 / 94169 ti = "17/53258/94169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53258/94169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53258 ÷ 217
    53258 ÷ 131072     		x = 0.406326293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94169 ÷ 217
    94169 ÷ 131072     		y = 0.718452453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406326293945312 × 2 - 1) × π
    -0.187347412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58856925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718452453613281 × 2 - 1) × π
    -0.436904907226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.37257724682107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58856925} λ = -0.58856925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37257724682107))-π/2
    2×atan(0.253452906389329)-π/2
    2×0.248225807815715-π/2
    0.49645161563143-1.57079632675     		φ = -1.07434471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58856925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.722534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07434471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.555418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53258 KachelY 94169 -0.58856925 -1.07434471 -33.722534 -61.555418
    Oben rechts KachelX + 1 53259 KachelY 94169 -0.58852132 -1.07434471 -33.719788 -61.555418
    Unten links KachelX 53258 KachelY + 1 94170 -0.58856925 -1.07436754 -33.722534 -61.556726
    Unten rechts KachelX + 1 53259 KachelY + 1 94170 -0.58852132 -1.07436754 -33.719788 -61.556726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07434471--1.07436754) × R
    2.28299999998072e-05 × 6371000     		dl = 145.449929998771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07434471--1.07436754) × R
    2.28299999998072e-05 × 6371000     		dr = 145.449929998771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58856925--0.58852132) × cos(-1.07434471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.476308527689321 × 6371000     		do = 145.446538921611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58856925--0.58852132) × cos(-1.07436754) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.476288453643455 × 6371000     		du = 145.440409070215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07434471)-sin(-1.07436754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476308527689321-0.476288453643455)×R²
    abs(-0.58852132--0.58856925)×2.00740458665138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00740458665138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00740458665138e-05×40589641000000     		ar = 21154.7431125141m²